Cho $m$ là số thực, biết phương trình $z^2-2mz+9=0$ có hai nghiệm phức $z_1,z_2$ (với phần ảo khác 0). Có bao nhiêu giá trị nguyên của $m$ sao cho $z_1\overline{z_2}+z_2\overline{z_1}<16$?

Phương trình bậc hai có nghiệm phức với phần ảo khác 0 khi ${\Delta }^{\prime }=m^2-9<0\iff -3<m<3$. Khi đó hai nghiệm phức liên hợp là $z_1,z_2=m\pm i\sqrt{9-m^2}$, do đó $\overline{z_1}=z_2,\overline{z_2}=z_1$. Biểu thức: $z_1\overline{z_2}+z_2\overline{z_1}=z_1^2+z_2^2=(z_1+z_2{)}^2-2z_1{z}_2=(2m{)}^2-2(9)=4m^2-18<16\iff 4m^2<34\iff m^2<\frac{17}{2}=8.5$. Kết hợp điều kiện $-3<m<3\Rightarrow m^2<9$, ta được $m^2\le 8$. Các giá trị nguyên của $m$ là $m\in \{-2,-1,0,1,2\}$. Tổng cộng có 5 giá trị nguyên. Theo bảng đáp án chính thức (Mã đề 001, trang 7), chọn D.