Cho hàm số $y=f(x)$ liên tục và có đạo hàm trên $[a;b]$, biết $F(x)=x^4-2x^2+1$ là một nguyên hàm của hàm số $g(x)=f^{\prime }(x)-4x$. Với $a,b,C$ là các hằng số.

Xét từng mệnh đề:
a) Đúng: Vì $F(x)$ là nguyên hàm của $g(x)$ nên $g(x)=F^{\prime }(x)=4x^3-4x$. Do $g(x)=f^{\prime }(x)-4x$ nên $f^{\prime }(x)=g(x)+4x=4x^3$.
b) Đúng: Theo định nghĩa nguyên hàm, họ các nguyên hàm của $g(x)$ là $F(x)+C$.
c) Sai: Theo công thức Newton-Leibniz, ${\int }_a^{b}g(x)dx=F(b)-F(a)\ne F(a)-F(b)$.
d) Đúng: Phương trình $f^{\prime }(x)=4x^3=0\iff x=0$ (nghiệm bội 3 lẻ, đổi dấu từ âm sang dương khi qua $0$). Do đó hàm số $y=f(x)$ có đúng một điểm cực trị (cực tiểu tại $x=0$).