Cho hàm số: $y=f(x)=\frac{x^2-3x+3}{1-x}$.

(AI giải đề cho tôi)
Viết lại $f(x)=\frac{x^2-3x+3}{1-x}=-x+2-\frac{1}{x-1}$ (với $x\ne 1$). Khi đó $f^{\prime }(x)=-1+\frac{1}{(x-1{)}^2}$, nên $f^{\prime }(x)=0\iff x=0$ hoặc $x=2$; $f^{\prime }(x)>0\iff x<0$ hoặc $x>2$, $f^{\prime }(x)<0\iff 0<x<2$ (trừ $x=1$).
a) Trên $(0;2)$ hàm số nghịch biến (trừ điểm gián đoạn $x=1$), nên khẳng định SAI.
b) Tại $x=2$, $f^{\prime }$ đổi dấu từ $-$ sang $+$ nên hàm đạt cực tiểu tại $x=2$, không phải cực đại → SAI.
c) Trên $[3/2;7/2]$, hàm nghịch biến trên $[3/2;2]$ và đồng biến trên $[2;7/2]$, nên $\min f=f(2)=\frac{4-6+3}{-1}=-1\ne -\frac{3}{2}$ → SAI.
d) Hai điểm cực trị: $A(0;3)$, $B(2;-1)$. Với $C(-1;2)$: $CA=\sqrt{2}$, $CB=\sqrt{9+9}=3\sqrt{2}$, nên $\frac{AD}{DB}=\frac{CA}{CB}=\frac{1}{3}$. Khi đó $D=\frac{3A+B}{4}=\left(\frac{1}{2};2\right)$, tức $a=\frac{1}{2},b=2$, suy ra $4a-b=2-2=0$ → ĐÚNG.
a) (AI giải đề cho tôi)
$f^{\prime }(x)=-1+\frac{1}{(x-1{)}^2}<0$ với mọi $x\in (0;2),x\ne 1$, nên hàm số nghịch biến trên $(0;2)$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$f^{\prime }$ đổi dấu từ âm sang dương khi qua $x=2$, nên hàm đạt cực tiểu (không phải cực đại) tại $x=2$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Trên $[3/2;7/2]$, giá trị nhỏ nhất đạt tại $x=2$: $f(2)=-1\ne -\frac{3}{2}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$A(0;3)$, $B(2;-1)$, $C(-1;2)$; $CA=\sqrt{2}$, $CB=3\sqrt{2}$ nên $AD:DB=1:3$, $D=\frac{3A+B}{4}=(1/2;2)$, do đó $4a-b=4\cdot \frac{1}{2}-2=0$.