Cho hàm số $y=|x^2-2x+m+1|$, với $m$ là tham số. Biết rằng giá trị lớn nhất của hàm số đã cho trên đoạn $[0;3]$ bằng 5. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

Chọn C.
Xét hàm số $g(x)=x^2-2x+m+1=(x-1{)}^2+m$ trên đoạn $[0;3]$.
Ta có:
- $g(1)=m$.
- $g(0)=m+1$.
- $g(3)=(3-1{)}^2+m=m+4$.
Do đó trên đoạn $[0;3]$, ta có ${\min }_{[0;3]}g(x)=m$ và ${\max }_{[0;3]}g(x)=m+4$.
Giá trị lớn nhất của hàm số $y=|g(x)|$ trên $[0;3]$ là $\max (|m|,|m+4|)=5$.
- Trường hợp 1: $|m+4|=5\iff [\begin{array}{l}m+4=5\Rightarrow m=1\\ m+4=-5\Rightarrow m=-9\end{array}$.
+ Với $m=1$, $g(x)\in [1;5]\Rightarrow \max |g(x)|=5$ (thỏa mãn).
+ Với $m=-9$, $g(x)\in [-9;-5]\Rightarrow \max |g(x)|=9\ne 5$ (loại).
- Trường hợp 2: $|m|=5\iff [\begin{array}{l}m=5\\ m=-5\end{array}$.
+ Với $m=-5$, $g(x)\in [-5;-1]\Rightarrow \max |g(x)|=5$ (thỏa mãn).
+ Với $m=5$, $g(x)\in [5;9]\Rightarrow \max |g(x)|=9\ne 5$ (loại).
Vậy các giá trị $m$ thỏa mãn là $m=1$ hoặc $m=-5$.
Với $m=1$, ta thấy $m=1\in (0;2)$.
Vậy mệnh đề đúng là $m\in (0;2)$.