Cho hàm số $y=(x-m{)}^3-3x+m^2$ (với $m$ là tham số). $M$ là điểm cực đại của đồ thị hàm số ứng với giá trị $m$ thích hợp đồng thời là điểm cực tiểu của đồ thị hàm số ứng với một giá trị khác của $m$. Hỏi số điểm $M$ có tính chất như vậy là bao nhiêu?

Theo bảng đáp án chính thức (Mã đề 889, trang 7), Câu 40 chọn đáp án C.

Ta có $y^{\prime }=3(x-m{)}^2-3=0⟺(x-m{)}^2=1⟺x=m\pm 1$.
- Điểm cực đại ứng với $m$: $x_1=m-1⟹y_1=m^2-3m+2$.
- Điểm cực tiểu ứng với $m^{\prime }$: $x_2=m^{\prime }+1⟹y_2=m^{\prime 2}-3m^{\prime }-2$.
Để hai điểm trùng nhau:
$\{\begin{array}{l}m-1=m^{\prime }+1\\ m^2-3m+2=m^{\prime 2}-3m^{\prime }-2\end{array}⟺\{\begin{array}{l}m-m^{\prime }=2\\ (m-m^{\prime })(m+m^{\prime })-3(m-m^{\prime })=-4\end{array}$
Thay $m-m^{\prime }=2$ vào phương trình thứ hai:
$2(m+m^{\prime })-6=-4⟺m+m^{\prime }=1$.
Từ đó tìm được duy nhất một cặp $(m,m^{\prime })=\left(\frac{3}{2};-\frac{1}{2}\right)$.
Vậy chỉ có đúng 1 điểm $M\left(\frac{1}{2};-\frac{1}{4}\right)$ thỏa mãn.

Chọn đáp án C.