Cho hàm số $y=f(x)$. Hàm số $y=f^{\prime }(x)$ có bảng biến thiên như sau:

Bất phương trình $f(x)<\ln x+m$ đúng với mọi $x\in \left(0;\frac{1}{3}\right)$ khi và chỉ khi

Bất phương trình tương đương với $m>f(x)-\ln x,\forall x\in \left(0;\frac{1}{3}\right)$. Xét hàm số $g(x)=f(x)-\ln x$ trên $\left(0;\frac{1}{3}\right)$, ta có $g^{\prime }(x)=f^{\prime }(x)-\frac{1}{x}$. Dựa vào bảng biến thiên của $f^{\prime }(x)$, với mọi $x\in \left(0;\frac{1}{3}\right)$ thì $f^{\prime }(x)<3$ trong khi $\frac{1}{x}>3$, do đó $g^{\prime }(x)<0,\forall x\in \left(0;\frac{1}{3}\right)$. Suy ra $g(x)$ nghịch biến trên $\left(0;\frac{1}{3}\right)$. Do đó yêu cầu bài toán tương đương với $m\ge g\left(\frac{1}{3}\right)=f\left(\frac{1}{3}\right)-\ln \frac{1}{3}=f\left(\frac{1}{3}\right)+\ln 3$. Chọn C.