Cho hàm số $y=f(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ và có đồ thị như hình vẽ.

Có bao nhiêu số nguyên $m$ để phương trình $f(\sqrt{x+1}-\sqrt{3-x})=m$ có nghiệm?

Xét hàm số $u(x)=\sqrt{x+1}-\sqrt{3-x}$ trên đoạn $[-1;3]$. Ta có $u^{\prime }(x)=\frac{1}{2\sqrt{x+1}}+\frac{1}{2\sqrt{3-x}}>0,\forall x\in (-1;3)$, do đó hàm số $u(x)$ đồng biến trên $[-1;3]$. Tập giá trị của $u(x)$ là $[u(-1);u(3)]=[-2;2]$. Phương trình $f(u)=m$ có nghiệm $x\in [-1;3]$ khi và chỉ khi $m\in [f_{\min };f_{\max }]$ trên đoạn $[-2;2]$. Dựa vào đồ thị hàm số $y=f(x)$, trên đoạn $[-2;2]$ hàm số có giá trị nhỏ nhất và lớn nhất tương ứng, từ đó tìm được 5 giá trị nguyên của $m$. Chọn A.