Cho hàm số $y=f(x)=\frac{x-3}{2x+1}$ có đồ thị $(C)$ và hàm số $g(x)=\sqrt{2x+1}$. Khi đó:

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $f^{\prime }(x)=\frac{(2x+1)-2(x-3)}{(2x+1{)}^2}=\frac{7}{(2x+1{)}^2}$ và $g^{\prime }(x)=\frac{1}{\sqrt{2x+1}}$ (với $x>-\frac{1}{2}$). a) $f^{\prime }(-1)=\frac{7}{(-1{)}^2}=7$ → đúng. b) $g^{\prime }(\frac{3}{2})=\frac{1}{\sqrt{4}}=\frac{1}{2}$ → đúng. c) $7(g^{\prime }(x){)}^4=7\cdot \frac{1}{(2x+1{)}^2}=f^{\prime }(x)$ → đúng. d) $M(0;-3)$, $f^{\prime }(0)=7$, tiếp tuyến có hệ số góc 7 nên song song với $y=7x+2026$ → đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
$f^{\prime }(x)=\frac{7}{(2x+1{)}^2}$ nên $f^{\prime }(-1)=\frac{7}{(-1{)}^2}=7$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$g^{\prime }(x)=\frac{1}{\sqrt{2x+1}}$, tại $x=\frac{3}{2}$: $g^{\prime }(\frac{3}{2})=\frac{1}{2}$, nên đồ thị $g^{\prime }(x)$ đi qua $A(\frac{3}{2};\frac{1}{2})$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$7(g^{\prime }(x){)}^4=7{\left(\frac{1}{\sqrt{2x+1}}\right)}^4=\frac{7}{(2x+1{)}^2}=f^{\prime }(x)$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$M(0;-3)$, hệ số góc tiếp tuyến $k=f^{\prime }(0)=\frac{7}{1}=7$, bằng hệ số góc của $y=7x+2026$ nên hai đường song song.