Cho hàm số $y=f(x)$ xác định, liên tục trên $\mathbb{R}$ và có bảng biến thiên sau:

$x$	$-\infty$		$0$		$1$		$+\infty$
$y^{\prime }$		$+$	$0$	$-$	$0$	$+$
$y$			$0$				$+\infty$
	$-2$			$-1$

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên: hàm số đồng biến trên $(-\infty ;0)$ và $(1;+\infty )$, nghịch biến trên $(0;1)$.
a) Sai: Trên $(-1;+\infty )$ hàm số không đồng biến hoàn toàn vì nghịch biến trên $(0;1)$.
b) Đúng: $y^{\prime }$ đổi dấu từ $+$ sang $-$ tại $x=0$ nên hàm đạt cực đại tại $x=0$; đổi dấu từ $-$ sang $+$ tại $x=1$ nên đạt cực tiểu tại $x=1$.
c) Sai: Hàm số chỉ có 2 điểm cực trị ($x=0$ và $x=1$).
d) Sai: Trên $(-\infty ;0)$ hàm tăng từ $-2$ đến $0$, trên $(0;1)$ giảm từ $0$ đến $-1$, trên $(1;+\infty )$ tăng từ $-1$ đến $+\infty$. Giá trị $\frac{1}{2}$ chỉ thuộc khoảng giá trị $(-1;+\infty )$ trên nhánh cuối, nên phương trình $f(x)=\frac{1}{2}$ chỉ có 1 nghiệm. (Khớp đáp án chính thức mã đề 001: SDSS.)
a) (AI giải đề cho tôi)
Hàm nghịch biến trên $(0;1)$ nên không đồng biến trên $(-1;+\infty )$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$y^{\prime }$ đổi dấu $+\to -$ tại $x=0$ (cực đại) và $-\to +$ tại $x=1$ (cực tiểu).
c) (AI giải đề cho tôi)
Hàm chỉ có 2 điểm cực trị.
d) (AI giải đề cho tôi)
Giá trị $\frac{1}{2}$ chỉ nằm trong khoảng giá trị của nhánh $(1;+\infty )$, nên phương trình chỉ có 1 nghiệm.