Cho hàm số $y=f(x)=a{x}^3+b{x}^2+cx+d$ có đồ thị như hình dưới đây:



a) Hàm số đồng biến trên khoảng $(-\infty ;-1)$.

b) Trong 4 số $a,b,c,d$ có ba số dương.

c) Hàm số đạt cực tiểu tại $x=1$.

d) Đồ thị hàm số cắt $Oy$ tại điểm có tọa độ $(0;1)$.

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị: điểm $(0;1)$ là điểm cực tiểu, đồ thị đi qua $(-1;2)$ và $(-2;1)$. Suy ra $d=f(0)=1$, $f^{\prime }(0)=0\Rightarrow c=0$. Với $f(-1)=-a+b+1=2\Rightarrow -a+b=1$ và $f(-2)=-8a+4b+1=1\Rightarrow b=2a$, giải được $a=1,b=2$, tức $f(x)=x^3+2x^2+1$. Kiểm tra: $f^{\prime }(x)=3x^2+4x=x(3x+4)$, cực đại tại $x=-\frac{4}{3}$ với $f\left(-\frac{4}{3}\right)=\frac{59}{27}\approx 2,19$ (khớp đỉnh hơi lệch trái so với điểm $(-1;2)$ đánh dấu), cực tiểu tại $x=0$.
a) Sai — hàm số đồng biến trên $\left(-\infty ;-\frac{4}{3}\right)$ và $(0;+\infty )$, nghịch biến trên $\left(-\frac{4}{3};0\right)$, nên không đồng biến trên toàn khoảng $(-\infty ;-1)$.
b) Đúng — $a=1>0,b=2>0,c=0,d=1>0$: có ba số dương là $a,b,d$.
c) Sai — hàm số đạt cực tiểu tại $x=0$, không phải $x=1$.
d) Đúng — $f(0)=d=1$, đồ thị cắt $Oy$ tại $(0;1)$.
Kết quả a) S, b) D, c) S, d) D khớp với đáp án mã đề 1020 (SDSD).
a) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
$f(x)=x^3+2x^2+1$, $f^{\prime }(x)=3x^2+4x=x(3x+4)$. Hàm số đồng biến trên $\left(-\infty ;-\frac{4}{3}\right)$, nghịch biến trên $\left(-\frac{4}{3};0\right)$. Vì $-\frac{4}{3}<-1$ nên trên khoảng $(-\infty ;-1)$ hàm số không đồng biến toàn phần (đoạn $\left(-\frac{4}{3};-1\right)$ nghịch biến).
b) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị: $d=f(0)=1$, $f^{\prime }(0)=0\Rightarrow c=0$; qua $(-1;2)$ và $(-2;1)$ giải được $a=1,b=2$. Vậy $a>0,b>0,d>0,c=0$: có ba số dương.
c) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
$f^{\prime }(x)=x(3x+4)$ đổi dấu từ $-$ sang $+$ tại $x=0$, nên hàm số đạt cực tiểu tại $x=0$, không phải tại $x=1$.
d) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
$f(0)=d=1$, nên đồ thị cắt trục $Oy$ tại điểm $(0;1)$ (đúng là điểm cực tiểu trên hình vẽ).