Cho hàm số $y=f(x)=a{x}^3+b{x}^2+cx+d$ có đồ thị như hình vẽ dưới đây:

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị, hàm số $f(x)=a{x}^3+b{x}^2+cx+d$ đi qua các điểm $(-2;1)$, $(-1;2)$, $(0;1)$ và có điểm cực tiểu tại $x=0$ (suy ra $f^{\prime }(0)=0$).

- $f(0)=1\Rightarrow d=1$.
- $f^{\prime }(0)=c=0$.
- $f(-1)=2$: $-a+b+1=2\Rightarrow b=a+1$.
- $f(-2)=1$: $-8a+4b+1=1\Rightarrow b=2a$.

Suy ra $a=1$, $b=2$, $c=0$, $d=1$, tức $f(x)=x^3+2x^2+1$. Kiểm tra: $f(-1)=-1+2+1=2$ ✓, $f(-2)=-8+8+1=1$ ✓, $f(0)=1$ ✓.

$f^{\prime }(x)=3x^2+4x=x(3x+4)$, nên $f^{\prime }=0$ tại $x=-\frac{4}{3}$ và $x=0$. Vì $a=1>0$: hàm đạt cực đại tại $x=-\frac{4}{3}$ với $f\left(-\frac{4}{3}\right)=\frac{59}{27}\approx 2,185$ và cực tiểu tại $x=0$ với $f(0)=1$.

a) Hàm đạt cực tiểu tại $x=-1$ là SAI (cực tiểu tại $x=0$; tại $x=-1$ hàm không đạt cực trị).

b) Trên $(-1;0)$: $f^{\prime }(x)=x(3x+4)<0$ (vì $x<0$, $3x+4>0$), nên hàm nghịch biến → SAI.

c) Vì $1=f(0)<2<\frac{59}{27}=f\left(-\frac{4}{3}\right)$, đường thẳng $y=2$ cắt đồ thị tại 3 điểm phân biệt (một nghiệm trong $(-2;-\frac{4}{3})$, nghiệm $x=-1$ vì $f(-1)=2$, và một nghiệm trong $(0;1)$). ĐÚNG.

d) $2a+3b+c=2(1)+3(2)+0=8$. ĐÚNG.

Kết quả khớp với đáp án nguồn: a) S, b) S, c) Đ, d) Đ.
a) (AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị: $f(-2)=1$, $f(-1)=2$, $f(0)=1$, $f^{\prime }(0)=0$ (cực tiểu tại $x=0$). Giải hệ được $a=1,b=2,c=0,d=1$, tức $f(x)=x^3+2x^2+1$. Khi đó $f^{\prime }(x)=3x^2+4x=0\iff x=-\frac{4}{3}$ hoặc $x=0$; hàm đạt cực đại tại $x=-\frac{4}{3}$ và cực tiểu tại $x=0$, không phải tại $x=-1$ → Sai.
b) (AI giải đề cho tôi)
Với $f(x)=x^3+2x^2+1$, trên $(-1;0)$ có $f^{\prime }(x)=x(3x+4)<0$, nên hàm nghịch biến trong khoảng $(-1;0)$ → Sai.
c) (AI giải đề cho tôi)
Cực tiểu $f(0)=1$, cực đại $f(-\frac{4}{3})=\frac{59}{27}\approx 2,185$. Vì $1<2<\frac{59}{27}$, phương trình $f(x)=2$ có 3 nghiệm phân biệt: một nghiệm trong $(-2;-\frac{4}{3})$, nghiệm $x=-1$ (vì $f(-1)=2$), và một nghiệm trong $(0;1)$ → Đúng.
d) (AI giải đề cho tôi)
Với $a=1,b=2,c=0$: $2a+3b+c=2+6+0=8$ → Đúng.