Cho hệ bất phương trình: $$\{\begin{array}{l}x+y\ge 5\\ x-2y\le 2(II)\\ y\le 3\end{array}.$$ Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m$ trong $\left[-20;20\right]$ để bất phương trình $2x-5y+m\ge 0$ nghiệm đúng với mọi cặp số $(x;y)$ thỏa mãn hệ bất phương trình (II).

(AI giải đề cho tôi)
Miền nghiệm của hệ (II) gồm: $x+y\ge 5$, $x-2y\le 2$, $y\le 3$. Các đỉnh của miền (phần liên tiếp) là giao của các cặp đường thẳng: $x+y=5$ với $x-2y=2$ cho $(4;1)$; $x+y=5$ với $y=3$ cho $(2;3)$; $x-2y=2$ với $y=3$ cho $(8;3)$. Miền không bị chặn về phía $x$ lớn và $y$ nhỏ. Xét $f(x;y)=2x-5y$ trên miền: trên cạnh $y=3$ với $x\ge 2$ thì $f=2x-15$ tăng theo $x$, nhỏ nhất tại $(2;3)$ bằng $-11$; trên cạnh $x+y=5$ với $1\le y\le 3$ thì $f=10-7y$ nhỏ nhất tại $y=3$ bằng $-11$; tại $(4;1)$: $f=3$; tại $(8;3)$: $f=1$. Vậy $\min f=-11$ đạt tại $(2;3)$. Bất phương trình $2x-5y+m\ge 0$ đúng với mọi $(x;y)$ thuộc miền khi và chỉ khi $m\ge -\min f=11$. Các giá trị nguyên $m\in [-20;20]$ thỏa mãn: $m\in \{11,12,\dots ,20\}$, gồm $10$ giá trị.