Cho hình bình hành $ABCD$. Gọi $M,N$ lần lượt là trung điểm của $DC,AB$. $P$ là giao điểm của $AM,DB$ và $Q$ là giao điểm của $CN,DB$. Có bao nhiêu vecto bằng vecto $\overrightarrow{DP}$ đúng hay sai?

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ tọa độ: $A(0;0)$, $B(2;0)$, $D(1;2)$, $C(3;2)$ (hình bình hành). Khi đó $M$ trung điểm $DC$ là $M(2;2)$, $N$ trung điểm $AB$ là $N(1;0)$.

Đường thẳng $AM$: $y=x$. Đường thẳng $DB$: qua $D(1;2)$, $B(2;0)$ có phương trình $y=-2x+4$. Giao điểm $P$: $x=-2x+4\Rightarrow x=\frac{4}{3}$... kiểm tra lại với cách khác: $AM$: $y=x$; $DB$: $y=-2x+4$; suy ra $3x=4$, $P=\left(\frac{4}{3};\frac{4}{3}\right)$.

Tính theo véc tơ: $\overrightarrow{DP}=\left(\frac{4}{3}-1;\frac{4}{3}-2\right)=\left(\frac{1}{3};-\frac{2}{3}\right)$. Ta có $\overrightarrow{DB}=(1;-2)$ nên $\overrightarrow{DP}=\frac{1}{3}\overrightarrow{DB}$, tức $P$ chia $DB$ theo tỉ số $\frac{DP}{PB}=\frac{1}{2}$ (đúng vì $AM$ là đường trung bình... thực chất $P$ là trọng tâm tam giác tạo bởi $\overrightarrow{DP}=\frac{1}{3}\overrightarrow{DB}$).

Tương tự $Q=CN\cap DB$: đường $CN$ qua $C(3;2)$, $N(1;0)$: $y=x-1$; với $DB$: $x-1=-2x+4\Rightarrow x=\frac{5}{3}$, $Q=\left(\frac{5}{3};\frac{2}{3}\right)$. Suy ra $\overrightarrow{DQ}=\left(\frac{2}{3};-\frac{4}{3}\right)=\frac{2}{3}\overrightarrow{DB}$, tức $\overrightarrow{QB}=\frac{1}{3}\overrightarrow{DB}$.

Các véc tơ bằng $\overrightarrow{DP}=\frac{1}{3}\overrightarrow{DB}$ (cùng hướng, cùng độ dài $\frac{1}{3}DB$):
- $\overrightarrow{PB}=\overrightarrow{DB}-\overrightarrow{DP}=\frac{2}{3}\overrightarrow{DB}$ — không bằng.
- $\overrightarrow{PQ}=\overrightarrow{DQ}-\overrightarrow{DP}=\frac{1}{3}\overrightarrow{DB}=\overrightarrow{DP}$ — bằng.
- $\overrightarrow{QB}=\frac{1}{3}\overrightarrow{DB}=\overrightarrow{DP}$ — bằng.
- $\overrightarrow{NC}$: $N(1;0)\to C(3;2)$: $(2;2)$ — không bằng.
- $\overrightarrow{AP}=\left(\frac{4}{3};\frac{4}{3}\right)$ — không bằng.

Vậy trong các véc tơ thông dụng của hình ($\overrightarrow{PB},\overrightarrow{PQ},\overrightarrow{QB},\overrightarrow{NC},\overrightarrow{AP},...$) có đúng 2 véc tơ bằng $\overrightarrow{DP}$, đó là $\overrightarrow{PQ}$ và $\overrightarrow{QB}$, vì cả ba đều bằng $\frac{1}{3}\overrightarrow{DB}$ cùng hướng. Kết luận: có 2 véc tơ bằng $\overrightarrow{DP}$ (không kể $\overrightarrow{DP}$): $\overrightarrow{PQ}=\overrightarrow{QB}=\overrightarrow{DP}=\frac{1}{3}\overrightarrow{DB}$.