Cho hình thang $ABCD$ có hai đáy $AB=1,CD=2$. Gọi $M,N$ lần lượt là trung điểm $AD$ và $BC$. Tính $\left|\overrightarrow{DM}-\overrightarrow{BA}-\overrightarrow{CN}\right|$

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\overrightarrow{DM}-\overrightarrow{BA}-\overrightarrow{CN}=\overrightarrow{DM}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{NC}$.

Vì $M$ là trung điểm $AD$ nên $\overrightarrow{DM}=\frac{1}{2}\overrightarrow{DA}$; vì $N$ là trung điểm $BC$ nên $\overrightarrow{NC}=\frac{1}{2}\overrightarrow{BC}$. Khi đó:
$$\overrightarrow{DM}-\overrightarrow{BA}-\overrightarrow{CN}=\overrightarrow{AB}+\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{BC}\right).$$

Mặt khác, do $\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{DC}$ nên $\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{DC}-\overrightarrow{AB}$. Suy ra:
$$\overrightarrow{DM}-\overrightarrow{BA}-\overrightarrow{CN}=\overrightarrow{AB}+\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{DC}-\overrightarrow{AB}\right)=\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{DC}\right).$$

Đây chính là tính chất đường trung bình của hình thang: $\overrightarrow{MN}=\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{DC}\right)$. Hai véc tơ $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{DC}$ cùng phương, ngược chiều (vì $AB\parallel CD$), nên độ dài
$$MN=\frac{AB+CD}{2}=\frac{1+2}{2}=\frac{3}{2}.$$

Vậy $\left|\overrightarrow{DM}-\overrightarrow{BA}-\overrightarrow{CN}\right|=\frac{3}{2}$.