Cho hình bình hành $ABCD$, tâm $O$. Gọi $M,N$ theo thứ tự là trung điểm của $AB,CD$ và $P$ là điểm thỏa mãn hệ thức: $\overrightarrow{OP}=-\frac{1}{3}\overrightarrow{OA}$. Khi đó:

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ trục với tâm O làm gốc: đặt $\overrightarrow{OA}=\vec{a}$, $\overrightarrow{OB}=\vec{b}$ thì $\overrightarrow{OC}=-\vec{a}$, $\overrightarrow{OD}=-\vec{b}$. Điểm $P$ thỏa $\overrightarrow{OP}=-\frac{1}{3}\overrightarrow{OA}=-\frac{1}{3}\vec{a}$.
(a) Từ $\overrightarrow{OP}=-\frac{1}{3}\overrightarrow{OA}$ suy ra $\overrightarrow{OA}+3\overrightarrow{OP}=\vec{0}$. Đúng.
(b) $\overrightarrow{AP}=\overrightarrow{OP}-\overrightarrow{OA}=-\frac{4}{3}\vec{a}$, $\overrightarrow{AC}=-2\vec{a}$. Khi đó $3\overrightarrow{AP}-3\overrightarrow{AC}=-4\vec{a}+6\vec{a}=2\vec{a}\ne \vec{0}$. Sai.
(c) $M$ trung điểm $AB$: $\overrightarrow{OM}=\frac{\vec{a}+\vec{b}}{2}$; $N$ trung điểm $CD$: $\overrightarrow{ON}=\frac{-\vec{a}-\vec{b}}{2}=-\overrightarrow{OM}$. Ta có $\overrightarrow{BP}=\overrightarrow{OP}-\overrightarrow{OB}=-\frac{1}{3}\vec{a}-\vec{b}=\frac{1}{3}(-\vec{a}-3\vec{b})$ và $\overrightarrow{BN}=\overrightarrow{ON}-\overrightarrow{OB}=\frac{-\vec{a}-\vec{b}}{2}-\vec{b}=\frac{-\vec{a}-3\vec{b}}{2}$. Suy ra $\overrightarrow{BP}=\frac{2}{3}\overrightarrow{BN}$, vậy $B,P,N$ thẳng hàng. Mệnh đề 'không thẳng hàng' sai.
(d) $AC$ và $BD$ cắt nhau tại $O$ (tâm hình bình hành). Vì $\overrightarrow{ON}=-\overrightarrow{OM}$ nên $O$ là trung điểm $MN$, do đó $MN$ cũng đi qua $O$. Ba đường thẳng $AC,BD,MN$ đồng quy tại $O$. Đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
Từ $\overrightarrow{OP}=-\frac{1}{3}\overrightarrow{OA}$ suy ra $\overrightarrow{OA}+3\overrightarrow{OP}=\vec{0}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{AP}=-\frac{4}{3}\overrightarrow{OA}$, $\overrightarrow{AC}=-2\overrightarrow{OA}$ nên $3\overrightarrow{AP}-3\overrightarrow{AC}=2\overrightarrow{OA}\ne \vec{0}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{BP}=\frac{2}{3}\overrightarrow{BN}$ nên $B,P,N$ thẳng hàng; mệnh đề 'không thẳng hàng' sai.
d) (AI giải đề cho tôi)
$AC,BD$ cắt tại $O$ và $O$ là trung điểm $MN$ nên $MN$ đi qua $O$; ba đường thẳng đồng quy tại $O$.