Cho hình chóp $ABCD$ có $AB$ vuông góc với $(BCD)$ và tam giác $BCD$ là tam giác đều. Biết $AB=a$; $BC=2a$ với $a>0$. Tính khoảng cách giữa $AC$ và $BD$.

Kẻ hình bình hành $BDCE$, khi đó $CE\parallel BD\Rightarrow BD\parallel (ACE)\Rightarrow d(AC,BD)=d(BD,(ACE))=d(B,(ACE))$. Gọi $I$ là trung điểm của $CE$. Do $△BCD$ đều cạnh $2a$ nên $△BCE$ cũng đều cạnh $2a$, suy ra $BI\perp CE$ và $BI=\frac{2a\sqrt{3}}{2}=a\sqrt{3}$. Mà $AB\perp (BCD)\Rightarrow AB\perp CE$, nên $CE\perp (ABI)\Rightarrow (ACE)\perp (ABI)$. Trong $△ABI$ vuông tại $B$, kẻ $BH\perp AI$, ta có $d(B,(ACE))=BH=\frac{AB\cdot BI}{\sqrt{A{B}^2+B{I}^2}}=\frac{a\cdot a\sqrt{3}}{\sqrt{a^2+3a^2}}=\frac{a\sqrt{3}}{2}$. Chọn D.