Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác đều cạnh $\sqrt{21}$. Tam giác $SAB$ vuông cân tại $S$ và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Tính khoảng cách từ điểm $A$ đến mặt phẳng $(SBC)$.

Gọi $H$ là trung điểm của $AB$. Vì $△SAB$ vuông cân tại $S$ và $(SAB)\perp (ABC)$ nên $SH\perp (ABC)$ và $SH=HB=HA=\frac{\sqrt{21}}{2}$.
Tam giác đều $ABC$ cạnh $a=\sqrt{21}$ có diện tích $S_{△ABC}=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}=\frac{21\sqrt{3}}{4}$, nên thể tích khối chóp là $V_{S.ABC}=\frac{1}{3}\cdot SH\cdot S_{△ABC}=\frac{1}{3}\cdot \frac{\sqrt{21}}{2}\cdot \frac{21\sqrt{3}}{4}=\frac{63\sqrt{7}}{24}=\frac{21\sqrt{7}}{8}$.
Ta có $SB=\frac{a}{\sqrt{2}}=\sqrt{\frac{21}{2}}$, $BC=\sqrt{21}$, $CH=\frac{\sqrt{63}}{2}$ và $SC=\sqrt{S{H}^2+C{H}^2}=\sqrt{\frac{21}{4}+\frac{63}{4}}=\sqrt{21}$.
Tam giác $SBC$ cân tại $C$ ($CB=CS=\sqrt{21}$) có đường cao ứng với cạnh $SB$ là $h_S=\sqrt{B{C}^2-{\left(\frac{SB}{2}\right)}^2}=\sqrt{21-\frac{21}{8}}=\frac{\sqrt{147}}{2\sqrt{2}}=\frac{7\sqrt{3}}{2\sqrt{2}}$, suy ra $S_{△SBC}=\frac{1}{2}\cdot SB\cdot h_S=\frac{1}{2}\cdot \frac{\sqrt{21}}{\sqrt{2}}\cdot \frac{7\sqrt{3}}{2\sqrt{2}}=\frac{21\sqrt{7}}{8}$.
Vậy khoảng cách từ $A$ đến mặt phẳng $(SBC)$ là $d(A,(SBC))=\frac{3V_{S.ABC}}{S_{△SBC}}=3$.