Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy là tam giác cân tại $A$. Cạnh bên $SA$ vuông góc với đáy. Gọi $H$ là trực tâm tam giác $ABC$. Tính $\cos \alpha$ với $\alpha$ là góc giữa đường thẳng $CH$ và mặt phẳng $(SBC)$. Biết $AB=AC=3,SA=BC=4$. (Kết quả làm tròn đến hàng phần trăm)

Đáp số: 0,81.

[Hình cần kiểm tra lại: p17_f1]

Gọi $I$ là hình chiếu của $H$ lên $SM$.

Ta có $\{\begin{array}{l}(SAM)\perp (SBC)\\ (SAM)\cap (SBC)=SM\Rightarrow IH\perp (SBC)\text{ tại }I\\ (SAM)\supset IH\perp SM\end{array}$

Suy ra $\left(CH,(SBC)\right)=(CH,CI)=\widehat{HCI}$.

Xét tam giác $ABM$ vuông tại $M$, ta có

- $AM=\sqrt{A{B}^2-B{M}^2}=\sqrt{5}\Rightarrow SM=\sqrt{S{A}^2+S{M}^2}=\sqrt{21}$. (Giữ nguyên biểu thức theo nguồn; nguồn in nhầm $SM=\sqrt{S{A}^2+S{M}^2}$, đúng phải là $SM=\sqrt{S{A}^2+A{M}^2}=\sqrt{21}$.)

- $\cos \widehat{ABM}=\frac{BM}{AB}=\frac{2}{3}$.

Xét tam giác $CBN$ vuông tại $N$, ta có

- $BN=BC\cos \widehat{ABM}=4\cdot \frac{2}{3}=\frac{8}{3}$.

- $NC=\sqrt{B{C}^2-B{N}^2}=\frac{4\sqrt{5}}{3}$.

Hai tam giác $NBC$ và $MHC$ đồng dạng nên

$$\frac{NB}{MH}=\frac{NC}{MC}=\frac{BC}{HC}=\frac{\frac{4\sqrt{5}}{3}}{2}=\frac{2\sqrt{5}}{3}\Rightarrow \{\begin{array}{l}MH=\frac{4\sqrt{5}}{5}\\ HC=\frac{6\sqrt{5}}{5}\end{array}.$$

Hai tam giác $SAM$ và $HIM$ đồng dạng nên

$$\frac{SA}{HI}=\frac{AM}{IM}=\frac{SM}{HM}=\frac{\sqrt{21}}{\frac{4\sqrt{5}}{5}}=\frac{\sqrt{105}}{4}\Rightarrow HI=\frac{16\sqrt{105}}{105}.$$

Tam giác $IHC$ vuông tại $I$, ta có

- $IC=\sqrt{H{C}^2-I{H}^2}=\frac{10\sqrt{21}}{21}$.

- $\cos \widehat{HCI}=\frac{IC}{HC}=\frac{\frac{10\sqrt{21}}{21}}{\frac{6\sqrt{5}}{5}}=\frac{5\sqrt{105}}{63}$.

Vậy $\cos (CH,(SBC))=\frac{5\sqrt{105}}{63}\approx 0,81$.