Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy là tam giác vuông tại $B$, $AB=3$, $BC=4$, mặt phẳng $(SBC)$ vuông góc với mặt phẳng $(ABC)$. Biết $SB=2\sqrt{3}$, góc giữa $SB$ và $(ABC)$ bằng $30^{\circ }$. Khoảng cách từ điểm $B$ đến mặt phẳng $(SAC)$ bằng bao nhiêu (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm)?

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $H$ là hình chiếu của $S$ trên $BC$. Vì $(SBC)\perp (ABC)$ nên giao tuyến $BC$, và góc giữa $SB$ với $(ABC)$ là $\widehat{SBH}=30^{\circ }$. Suy ra $SH=SB\sin 30^{\circ }=2\sqrt{3}\cdot \frac{1}{2}=\sqrt{3}$, $BH=SB\cos 30^{\circ }=2\sqrt{3}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=3$ (nên $HC=1$). Thể tích khối chóp: $V=\frac{1}{3}\cdot S_{ABC}\cdot SH=\frac{1}{3}\cdot \frac{3\cdot 4}{2}\cdot \sqrt{3}=2\sqrt{3}$. Đặt hệ tọa độ $B(0,0),A(3,0),C(0,4)$, đường thẳng $AC$: $4x+3y-12=0$. Khoảng cách từ $S(0,3,\sqrt{3})$ đến $AC$: $d(S,(AC))=\sqrt{{\left(\frac{3}{5}\right)}^2+3}=\frac{2\sqrt{21}}{5}$. Diện tích $△SAC=\frac{1}{2}\cdot AC\cdot d=\frac{1}{2}\cdot 5\cdot \frac{2\sqrt{21}}{5}=\sqrt{21}$. Khoảng cách từ $B$ đến $(SAC)$: $d=\frac{3V}{S_{SAC}}=\frac{6\sqrt{3}}{\sqrt{21}}=\frac{6}{\sqrt{7}}=\frac{6\sqrt{7}}{7}\approx 2,27$. Kết quả khớp với đáp án nguồn 2,27.