Cho hình chóp $S.ABC$. Gọi $M$ là điểm trên cạnh $AB$ thoả $MB=2MA$, $N$, $P$ lần lượt là trung điểm của $BC$, $CA$. Mặt phẳng $(\alpha )$ qua $M$, $N$ và song song với $SP$ cắt $SC$ tại điểm $E$. Tính tỉ số $\frac{SE}{SC}$.

(AI giải đề cho tôi)
Dùng phương pháp toạ độ hoá hình. Chọn $\overrightarrow{AB}=\vec{b}$, $\overrightarrow{AC}=\vec{c}$, $\overrightarrow{AS}=\vec{s}$. Khi đó $\overrightarrow{AM}=\frac{1}{3}\vec{b}$, $\overrightarrow{AN}=\frac{\vec{b}+\vec{c}}{2}$, $\overrightarrow{AP}=\frac{\vec{c}}{2}$.

Điểm $E$ trên đường thẳng $SC$: $\overrightarrow{AE}=(1-t)\vec{s}+t\vec{c}$, khi đó $\frac{SE}{SC}=|t|$.

Vì $(\alpha )$ qua $M,N$ và song song $SP$, vectơ $\overrightarrow{ME}$ phải là tổ hợp tuyến tính của $\overrightarrow{MN}=\frac{\vec{b}}{6}+\frac{\vec{c}}{2}$ và $\overrightarrow{SP}=\vec{s}-\frac{\vec{c}}{2}$:
$$\overrightarrow{ME}=\lambda \left(\frac{\vec{b}}{6}+\frac{\vec{c}}{2}\right)+\mu \left(\vec{s}-\frac{\vec{c}}{2}\right).$$
So sánh hệ số theo $\vec{b}$: $-\frac{1}{3}=\frac{\lambda }{6}\Rightarrow \lambda =-2$.
So sánh theo $\vec{s}$: $1-t=\mu$.
So sánh theo $\vec{c}$: $t=\frac{\lambda }{2}-\frac{\mu }{2}=-1-\frac{1-t}{2}$, suy ra $\frac{t}{2}=-\frac{3}{2}\Rightarrow t=-3$.

Vậy $E$ nằm trên đường thẳng $SC$ (phía ngoài đoạn $SC$, qua phía $S$) và $\frac{SE}{SC}=|t|=3$.