Cho hình chóp $S.ABCD$ có $ABCD$ là hình bình hành. Gọi $M,N,P$ lần lượt là trung điểm của $BC,CD,SD$. Gọi $I$ là giao điểm của đường thẳng $SA$ và $(MNP)$. Biết tỷ số $\frac{IS}{IA}=\frac{a}{b}$, với $\frac{a}{b}$ là phân số tối giản và $a,b\in {\mathbb{N}}^{\ast }$. Giá trị $a+2b$ bằng bao nhiêu?

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ trục với $A$ là gốc, $\overrightarrow{AB}=\vec{b}$, $\overrightarrow{AD}=\vec{d}$, $\overrightarrow{AS}=\vec{s}$ độc lập tuyến tính. Khi đó $B=(1,0,0)$, $D=(0,1,0)$, $C=(1,1,0)$, $S=(0,0,1)$. Suy ra $M$ trung điểm $BC$ có tọa độ $(1,\frac{1}{2},0)$, $N$ trung điểm $CD$ có tọa độ $(\frac{1}{2},1,0)$, $P$ trung điểm $SD$ có tọa độ $(0,\frac{1}{2},\frac{1}{2})$. Mặt phẳng $(MNP)$ có dạng $\alpha x+\beta y+\gamma z=\delta$. Từ $M,N$: $\alpha +\frac{\beta }{2}=\delta$ và $\frac{\alpha }{2}+\beta =\delta \Rightarrow \alpha =\beta$. Chọn $\alpha =\beta =1$ thì $\delta =\frac{3}{2}$; thay tọa độ $P$: $\frac{1}{2}+\frac{\gamma }{2}=\frac{3}{2}\Rightarrow \gamma =2$. Vậy $(MNP):x+y+2z=\frac{3}{2}$. Điểm $I$ trên đường thẳng $SA$ có dạng $(0,0,t)$, thay vào phương trình mặt phẳng: $2t=\frac{3}{2}\Rightarrow t=\frac{3}{4}$, tức $\overrightarrow{AI}=\frac{3}{4}\overrightarrow{AS}$. Suy ra $IS=\frac{1}{4}SA$ và $IA=\frac{3}{4}SA$, do đó $\frac{IS}{IA}=\frac{1}{3}$ với $a=1,b=3$. Vậy $a+2b=1+2\cdot 3=7$, khớp với đáp án nguồn (bảng đáp án mã đề 1102, Câu 21 = 7).