Cho hình chóp $S.ABCD$ có $ABCD$ là hình chữ nhật, tam giác $SAB$ đều và mặt phẳng $(SAB)$ vuông góc với mặt phẳng $(ABCD)$, $AB=a,AD=2a$. $H$ là trung điểm $AB$.

(AI giải đề cho tôi)
Vì tam giác $SAB$ đều và $(SAB)\perp (ABCD)$, đường cao $SH\perp AB$ nên $SH\perp (ABCD)$ với $SH=\frac{a\sqrt{3}}{2}$.
a) $V=\frac{1}{3}\cdot AB\cdot AD\cdot SH=\frac{1}{3}\cdot a\cdot 2a\cdot \frac{a\sqrt{3}}{2}=\frac{a^3\sqrt{3}}{3}\ne \sqrt{3}{a}^3$ → Sai.
b) Tọa độ: $A(0;0;0),B(a;0;0),D(0;2a;0),C(a;2a;0),H(a/2;0;0),S(a/2;0;a\sqrt{3}/2)$. Mặt phẳng $(SCD)$ qua $D$ có VTPT $\vec{n}=\overrightarrow{DC}\times \overrightarrow{DS}=(0;-ah;-2a^2)$ với $h=a\sqrt{3}/2$, suy ra phương trình $\sqrt{3}y+4z=2\sqrt{3}a$. Khoảng cách từ $H$: $d=\frac{2\sqrt{3}a}{\sqrt{19}}=\frac{2a\sqrt{57}}{19}$ → Đúng.
c) Vì $BC\perp AB$ và $BC\perp SB$ nên góc nhị diện $[S,BC,D]$ là góc $\widehat{SBA}=60^{\circ }$ (tam giác $SAB$ đều) → Đúng.
d) $SH\perp (ABCD)$ chứ không phải $SA$; tam giác $SAB$ đều nên $SA$ tạo với $(ABCD)$ góc $60^{\circ }$ → Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
$V=\frac{1}{3}\cdot a\cdot 2a\cdot \frac{a\sqrt{3}}{2}=\frac{a^3\sqrt{3}}{3}\ne \sqrt{3}{a}^3$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Với hệ tọa độ $A(0;0;0),B(a;0;0),D(0;2a;0),C(a;2a;0),S(a/2;0;a\sqrt{3}/2)$, mặt $(SCD)$: $\sqrt{3}y+4z=2\sqrt{3}a$, nên $d(H,(SCD))=\frac{2\sqrt{3}a}{\sqrt{19}}=\frac{2a\sqrt{57}}{19}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$BC\perp AB$ và $BC\perp SB$ nên góc nhị diện $[S,BC,D]$ là $\widehat{SBA}=60^{\circ }$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Chỉ có $SH\perp (ABCD)$; $SA$ nghiêng, tạo với $(ABCD)$ góc $60^{\circ }$.