Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình bình hành. Gọi $M,N$ lần lượt là trung điểm của $SA,SB$. Điểm $P$ thuộc đoạn thẳng $BC$ sao cho $BP=3PC$.

a) Tìm giao tuyến của $(SAC)$ và $(SBD)$.

b) Gọi $Q$ là giao điểm của đường thẳng $SD$ và mặt phẳng $(MNP)$. Tính tỷ số $\frac{QS}{QD}$.

(AI giải đề cho tôi)
Câu a) Gọi $O=AC\cap BD$ là giao điểm hai đường chéo của hình bình hành $ABCD$. Khi đó $O\in AC\subset (SAC)$ và $O\in BD\subset (SBD)$, đồng thời $S$ cũng thuộc cả hai mặt phẳng $(SAC)$ và $(SBD)$. Vậy giao tuyến của $(SAC)$ và $(SBD)$ là đường thẳng $SO$.

Câu b) Chọn hệ tọa độ: $A(0;0;0)$, $B(1;0;0)$, $D(0;1;0)$, $C(1;1;0)$, $S(0;0;h)$ với $h>0$.
- $M$ trung điểm $SA$: $M\left(0;0;\frac{h}{2}\right)$.
- $N$ trung điểm $SB$: $N\left(\frac{1}{2};0;\frac{h}{2}\right)$.
- $P\in BC$ với $BP=3PC$ tức $P=B+\frac{3}{4}(C-B)$: $P\left(1;\frac{3}{4};0\right)$.

Ta có $\overrightarrow{MN}=\left(\frac{1}{2};0;0\right)$, $\overrightarrow{MP}=\left(1;\frac{3}{4};-\frac{h}{2}\right)$. Vectơ pháp tuyến của $(MNP)$:
$$\vec{n}=\overrightarrow{MN}\times \overrightarrow{MP}=\left(0;\frac{h}{4};\frac{3}{8}\right).$$
Phương trình mặt phẳng $(MNP)$ qua $M$:
$$\frac{h}{4}y+\frac{3}{8}\left(z-\frac{h}{2}\right)=0⟺4hy+6z-3h=0.$$

Điểm $Q$ trên đường thẳng $SD$: $Q=S+t(D-S)=(0;t;h(1-t))$. Thay vào phương trình mặt phẳng:
$$4ht+6h(1-t)-3h=0⟺4t+6-6t-3=0⟺t=\frac{3}{2}.$$
Vậy $Q$ nằm ngoài đoạn $SD$, phía sau $D$, với $\overrightarrow{SQ}=\frac{3}{2}\overrightarrow{SD}$, suy ra $SQ=\frac{3}{2}SD$ và $QD=\frac{1}{2}SD$.
$$\frac{QS}{QD}=\frac{\frac{3}{2}SD}{\frac{1}{2}SD}=3.$$

Kết luận: a) Giao tuyến là $SO$ với $O=AC\cap BD$; b) $\frac{QS}{QD}=3$.