Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình thang, đáy lớn $CD$. Gọi $I,J$ lần lượt là trung điểm của $AD,AB$ và $O$ là giao điểm của hai đường chéo hình thang $ABCD$.

(AI giải đề cho tôi)
Đáy hình thang: $AB\parallel CD$ với $AB<CD$; $O=AC\cap BD$.

a) $O=AC\cap BD$ với $AC\subset (SAC)$, $BD\subset (SBD)$, và $S$ chung, nên giao tuyến của $(SAC)$ và $(SBD)$ là $SO$. → Đúng.

b) Kiểm tra bằng tọa độ: lấy $A=(0;0)$, $B=(1;0)$, $C=(3;1)$, $D=(0;1)$, $S=(0;0;2)$. Khi đó $J=(0,5;0;0)$, trọng tâm $G$ tam giác $SDB$ là $G=\left(\frac{1}{3};\frac{1}{3};\frac{2}{3}\right)$. Đường thẳng $JG$ có phương trình $(x;y;z)=\left(\frac{1}{2}-\frac{t}{6};\frac{t}{3};\frac{2t}{3}\right)$; đường thẳng $SC$: $(3u;u;2-2u)$. So sánh hệ thức dẫn đến $t=3/19$ từ hệ $(x,y)$ nhưng $t=3/4$ từ hệ $(z)$ — mâu thuẫn, vậy $JG$ và $SC$ chéo nhau, không có giao điểm $H=JG\cap SC$. Thật vậy, mặt phẳng $(IJG)$ (với $I$ trung điểm $AD$) cắt $SC$ tại điểm $H$ với tham số $u=2/9$, tức $H=\left(\frac{2}{3};\frac{2}{9};\frac{14}{9}\right)$, không nằm trên $JG$. → Sai.

c) Vì $AB\parallel CD$, $AB\subset (SAB)$, $CD\subset (SCD)$, hai mặt phẳng $(SAB)$ và $(SCD)$ cắt nhau theo đường thẳng đi qua $S$ và song song với $AB$ (đồng thời song song $CD$). Mệnh đề phủ nhận điều này nên sai. → Sai.

d) Trong tam giác $ABD$, $I$ trung điểm $AD$, $J$ trung điểm $AB$ nên $IJ\parallel BD$, và $IJ$ nằm trong mặt phẳng $(ABD)$. Đường thẳng $SD$ cũng nằm trong $(ABD)$ và cắt $BD$ tại $D$, không song song với $BD$, nên $SD$ không song song với $IJ$; hai đường thẳng cùng nằm trong mặt phẳng $(ABD)$ và không song song nên cắt nhau. → Đúng.

Kết luận: a) Đúng, b) Sai, c) Sai, d) Đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
$O=AC\cap BD$ thuộc cả $(SAC)$ lẫn $(SBD)$, hai mặt phẳng còn chung điểm $S$, nên giao tuyến là $SO$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Với tọa độ $A=(0;0)$, $B=(1;0)$, $C=(3;1)$, $D=(0;1)$, $S=(0;0;2)$: $JG$ và $SC$ chéo nhau (hệ phương trình cho $t=3/19$ và $t=3/4$ mâu thuẫn). Mặt phẳng $(IJG)$ cắt $SC$ tại $H$ ứng với $u=2/9$ trên $SC$, không trùng giao điểm $JG\cap SC$ (không tồn tại).
c) (AI giải đề cho tôi)
Vì $AB\parallel CD$ nên giao tuyến của $(SAB)$ và $(SCD)$ chính là đường thẳng qua $S$ song song với $AB$; mệnh đề nói 'không phải' nên sai.
d) (AI giải đề cho tôi)
$IJ$ là đường trung bình tam giác $ABD$ nên $IJ\parallel BD$ và $IJ\subset (ABD)$; $SD\subset (ABD)$ cắt $BD$ tại $D$ nên không song song $IJ$. Hai đường thẳng cùng phẳng và không song song nên cắt nhau.