Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình bình hành. Gọi $M,N,P$ lần lượt là trung điểm của $SB,SD$ và $BC$. Gọi $E$ là giao điểm của mặt phẳng $(MNP)$ với cạnh $SA$. Biết tỉ số $\frac{SE}{SA}=\frac{m}{n}$ $(m,n\in {\mathbb{N}}^{\ast },\frac{m}{n}$ là phân số tối giản$)$. Tính $2m+n$.

(AI giải đề cho tôi)
Đặt $\overrightarrow{SA}=\vec{a},\overrightarrow{SB}=\vec{b},\overrightarrow{SC}=\vec{c}$. Vì $ABCD$ là hình bình hành nên $\overrightarrow{SD}=\vec{a}+\vec{c}-\vec{b}$. Ta có $M=\frac{\vec{b}}{2},N=\frac{\vec{a}+\vec{c}-\vec{b}}{2},P=\frac{\vec{b}+\vec{c}}{2}$. Gọi $E$ trên $SA$ với $\overrightarrow{SE}=t\vec{a}$. Vì $E\in (MNP)$ nên $\overrightarrow{SE}=\overrightarrow{SM}+u(\overrightarrow{SN}-\overrightarrow{SM})+v(\overrightarrow{SP}-\overrightarrow{SM})=\frac{\vec{b}}{2}+\frac{u}{2}(\vec{a}+\vec{c}-2\vec{b})+\frac{v}{2}\vec{c}$. So sánh hệ số: hệ số của $\vec{b}$: $\frac{1-2u}{2}=0\Rightarrow u=\frac{1}{2}$; hệ số của $\vec{a}$: $\frac{u}{2}=t\Rightarrow t=\frac{1}{4}$ (hệ số của $\vec{c}$: $v=-\frac{1}{2}$, thỏa mãn). Vậy $\frac{SE}{SA}=\frac{1}{4}$, tức $m=1,n=4$ và $2m+n=2+4=6$. Kết quả khớp với đáp án nguồn (mã đề 4567, Phần III câu 3: 6).