Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình bình hành tâm $O$. Gọi $M$, $N$ lần lượt là trung điểm của các cạnh $SA$, $CD$.

a) Chứng minh $(OMN)\parallel (SBC)$.

b) Tìm giao điểm $I$ của $ON$ và $(SAB)$.

c) Đặt $G=SI\cap BM$ và $H$ là trọng tâm của $△SCD$. Chứng minh $GH\parallel (SAD)$.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 20. a) O là tâm hình bình hành ABCD nên O là trung điểm AC. Trong tam giác SAC, M là trung điểm SA nên OM là đường trung bình, suy ra OM ∥ SC, với SC ⊂ (SBC). Trong tam giác ACD, N là trung điểm CD nên ON là đường trung bình, suy ra ON ∥ AD; mà AD ∥ BC (hình bình hành) nên ON ∥ BC, với BC ⊂ (SBC). Hai đường thẳng OM và ON cắt nhau tại O và cùng song song với (SBC), nên (OMN) ∥ (SBC).

b) Trong mặt phẳng đáy, đường thẳng ON đi qua O và song song với AD (nên cũng song song với BC), cắt AB tại trung điểm K của AB (đường trung bình của tam giác ABC). Khi đó K ∈ ON và K ∈ AB ⊂ (SAB), vậy giao điểm I của ON và (SAB) chính là trung điểm K của AB.

c) Vì I là trung điểm AB nên SI là trung tuyến của tam giác SAB; BM cũng là trung tuyến của tam giác SAB (M trung điểm SA). Hai trung tuyến cắt nhau tại trọng tâm G của tam giác SAB. H là trọng tâm tam giác SCD. Chọn hệ vectơ: $\overrightarrow{AB}=\vec{b},\overrightarrow{AD}=\vec{d},\overrightarrow{AS}=\vec{s}$. Khi đó $\overrightarrow{AC}=\vec{b}+\vec{d}$, và $\overrightarrow{AG}=\frac{\vec{s}+\vec{b}}{3}$ (tính chất trọng tâm tam giác SAB), $\overrightarrow{AH}=\frac{\vec{s}+(\vec{b}+\vec{d})+\vec{d}}{3}=\frac{\vec{s}+\vec{b}+2\vec{d}}{3}$ (trọng tâm tam giác SCD). Suy ra $\overrightarrow{GH}=\overrightarrow{AH}-\overrightarrow{AG}=\frac{2}{3}\vec{d}=\frac{2}{3}\overrightarrow{AD}$. Vậy $GH\parallel AD$, mà $AD\subset (SAD)$ và $G\notin (SAD)$, do đó $GH\parallel (SAD)$.

Kiểm tra lại tính nhất quán của phần b): trong không gian, BC không nằm trong mặt phẳng (SAB) (mặt phẳng (SAB) chỉ cắt đáy theo đường AB), nên không có mâu thuẫn với việc ON cắt (SAB) tại K; kết quả I là trung điểm AB là đúng.