Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình chữ nhật $AB=a$ và $AD=2a$, cạnh bên $SA$ vuông góc với đáy. Tính thể tích $V$ của khối chóp $S.ABCD$ biết góc giữa hai mặt phẳng $(SBD)$ và $(ABCD)$ bằng $60^{\circ }$.

Kẻ $AH\perp BD$ tại $H$. Vì $SA\perp (ABCD)$ nên $SH\perp BD$, do đó góc giữa $(SBD)$ và $(ABCD)$ là $\widehat{SHA}=60^{\circ }$. Trong tam giác vuông $ABD$: $\frac{1}{A{H}^2}=\frac{1}{A{B}^2}+\frac{1}{A{D}^2}=\frac{1}{a^2}+\frac{1}{4a^2}=\frac{5}{4a^2}\Rightarrow AH=\frac{2a}{\sqrt{5}}$. Trong tam giác vuông $SAH$: $SA=AH\tan 60^{\circ }=\frac{2a\sqrt{3}}{\sqrt{5}}=\frac{2a\sqrt{15}}{5}$. Diện tích đáy: $S_{ABCD}=AB\cdot AD=a\cdot 2a=2a^2$. Thể tích khối chóp là $V=\frac{1}{3}{S}_{ABCD}\cdot SA=\frac{1}{3}\cdot 2a^2\cdot \frac{2a\sqrt{15}}{5}=\frac{4a^3\sqrt{15}}{15}$. Theo đáp án chính thức (Mã đề 731, trang 13), chọn C.