Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình chữ nhật có $AB=2a,AD=3a$. Gọi $H$ là điểm thuộc cạnh $AD$ sao cho $AH=a$, $SH\perp (ABCD)$ và $SH=2a\sqrt{2}$.

a) Chứng minh $(SCD)\perp (SAD)$.

b) Tính góc giữa $SC$ và $(SAD)$.

c) Gọi $I$ là trung điểm $CD$, $M=AC\cap BH$. Tính $d(M,(SBI))$.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ trục: $A(0;0;0)$, $B(2a;0;0)$, $D(0;3a;0)$, $C(2a;3a;0)$, $H(0;a;0)$, $S(0;a;2a\sqrt{2})$.

a) Vì $ABCD$ là hình chữ nhật nên $CD\perp AD$; vì $SH\perp (ABCD)$ nên $SH\perp CD$. Suy ra $CD\perp (SAD)$ mà $CD\subset (SCD)$, do đó $(SCD)\perp (SAD)$.

b) Vì $CD\perp (SAD)$ nên $D$ là hình chiếu của $C$ lên $(SAD)$, góc giữa $SC$ và $(SAD)$ là $\widehat{SCD}$. Ta có $SC=\sqrt{S{H}^2+H{C}^2}$ với $HC=\sqrt{(2a{)}^2+(2a{)}^2}=2a\sqrt{2}$, nên $SC=\sqrt{8a^2+8a^2}=4a$. Khi đó $\sin \widehat{SCD}=\frac{CD}{SC}=\frac{2a}{4a}=\frac{1}{2}$, suy ra góc bằng $30^{\circ }$.

c) $I$ là trung điểm $CD$: $I(a;3a;0)$. $M=AC\cap BH$: đường $AC$: $(2at;3at)$; đường $BH$: $(2a-2as;as)$. Giải hệ được $t=\frac{1}{4}$, nên $M\left(\frac{a}{2};\frac{3a}{4};0\right)$.

Mặt phẳng $(SBI)$ qua $B(2a;0;0)$ với $\overrightarrow{BS}=(-2a;a;2a\sqrt{2})$, $\overrightarrow{BI}=(-a;3a;0)$, vectơ pháp tuyến $\vec{n}=\overrightarrow{BS}\times \overrightarrow{BI}=a^2(-6\sqrt{2};-2\sqrt{2};-5)$, chọn $\vec{n}=(6\sqrt{2};2\sqrt{2};5)$. Phương trình: $6\sqrt{2}(x-2a)+2\sqrt{2}y+5z=0$.

Khoảng cách: $d(M,(SBI))=\frac{\left|6\sqrt{2}\left(\frac{a}{2}-2a\right)+2\sqrt{2}\cdot \frac{3a}{4}\right|}{\sqrt{72+8+25}}=\frac{\left|-9\sqrt{2}a+\frac{3\sqrt{2}a}{2}\right|}{\sqrt{105}}=\frac{\frac{15\sqrt{2}a}{2}}{\sqrt{105}}=\frac{a\sqrt{210}}{14}$.