Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình chữ nhật với $AB=a,AD=2a$. Hình chiếu vuông góc của $S$ trên mặt phẳng đáy là trung điểm $H$ của $AD$, góc giữa $SB$ và mặt phẳng đáy $(ABCD)$ là $45^{\circ }$. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng $SD$ và $BH$ theo $a$:

Chọn B.
(Theo bảng đáp án chính thức của trường THPT Yên Phong số 2 - Bắc Ninh, Mã đề 101, Trang 7-8)

Ta có $H$ là trung điểm của $AD⟹HD=HA=a$.
Vì $SH\perp (ABCD)$ nên góc giữa $SB$ và đáy là $\widehat{SBH}=45^{\circ }⟹SH=BH$.
Trong tam giác vuông $ABH$ tại $A$: $BH=\sqrt{A{B}^2+A{H}^2}=\sqrt{a^2+a^2}=a\sqrt{2}⟹SH=a\sqrt{2}$.
Kẻ đường thẳng qua $D$ song song với $BH$, dựng hình bình hành $BHDK$. Khoảng cách giữa hai đường chéo nhau $SD$ và $BH$ tính được bằng $\frac{a\sqrt{2}}{\sqrt{5}}$.