Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình thang đáy lớn $DC$. Gọi $M$ là trọng tâm tam giác $SCD$, $HK$ $(H\in SD,K\in SC)$ đi qua $M$ song song với $DC$. Các mệnh đề sau đúng hay sai?

a) Tứ giác $ABKH$ là hình bình hành khi và chỉ khi $DC=3AB$.

b) Hai đường thẳng $SA$ và $CD$ là hai đường thẳng chéo nhau.

c) Mặt phẳng $(SAD)$ giao $(SBC)$ theo giao tuyến $SO$ với O là giao điểm của AC và BD.

d) Mặt phẳng $(MAB)$ giao $(SCD)$ theo giao tuyến $HK$.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 2 (mã đề 111), đáp án SDSD. a) SAI. Vì $M$ là trọng tâm $△SCD$ và $HK\parallel DC$ đi qua $M$ nên $HK$ là đường trung bình của tam giác, suy ra $\frac{SH}{SD}=\frac{SK}{SC}=\frac{2}{3}$ và $HK=\frac{2}{3}DC$. Do đáy là hình thang nên $AB\parallel DC\parallel HK$. Tứ giác $ABKH$ là hình bình hành khi và chỉ khi $HK=AB$, tức $\frac{2}{3}DC=AB\iff DC=\frac{3}{2}AB$, không phải $DC=3AB$. b) ĐÚNG. $SA$ không nằm trong mặt phẳng $(SCD)$, không song song và không cắt $CD$ (chỉ gặp đáy tại $A\notin CD$), nên $SA$ và $CD$ chéo nhau. c) SAI. Hai mặt phẳng $(SAD)$ và $(SBC)$ có chung điểm $S$; gọi $P=AD\cap BC$ (hai cạnh bên hình thang không song song nên cắt nhau) thì $P\in (SAD)\cap (SBC)$, giao tuyến là $SP$. Điểm $O=AC\cap BD$ không thuộc $(SAD)$ (vì $C,B\notin (SAD)$), nên $O$ không nằm trên giao tuyến; khẳng định sai. d) ĐÚNG. $(MAB)$ và $(SCD)$ có chung điểm $M$. Vì $AB\parallel DC\subset (SCD)$ nên $AB\parallel (SCD)$; theo định lý về giao tuyến, giao tuyến đi qua $M$ và song song với $AB$ (tức song song với $DC$), chính là $HK$. Kết quả: a) Sai, b) Đúng, c) Sai, d) Đúng — khớp đáp án mã đề 111 (SDSD).
a) (AI giải đề cho tôi)
HK là đường trung bình tam giác SCD nên HK = (2/3)DC. ABKH là hình bình hành ⇔ HK = AB ⇔ DC = (3/2)AB, không phải DC = 3AB.
b) (AI giải đề cho tôi)
SA không nằm trong (SCD), không song song CD, không cắt CD ⇒ chéo nhau.
c) (AI giải đề cho tôi)
Giao tuyến của (SAD) và (SBC) là đường thẳng qua S và P = AD ∩ BC, không phải SO với O = AC ∩ BD vì O không thuộc (SAD).
d) (AI giải đề cho tôi)
AB ∥ (SCD) nên giao tuyến của (MAB) và (SCD) đi qua M song song với AB, chính là HK.