Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình thang với $AB//CD$ và $AB>CD$. Biết $AB=5a$, $CD=3a$. Gọi $E$ là điểm thuộc cạnh $SB$ sao cho đường thẳng $CE$ song song với mặt phẳng $(SAD)$. Biết tỉ số $\frac{ES}{EB}=\frac{m}{n}$ với $\frac{m}{n}$ là phân số tối giản $(m,n\in {\mathbb{N}}^{\ast })$. Tính giá trị của biểu thức $2m+3n$.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi K là giao điểm của hai đường thẳng BC và AD (hai cạnh bên của hình thang). Vì AB // CD nên tam giác KCD đồng dạng với KBA, suy ra KC/KB = CD/AB = 3a/5a = 3/5. Đặt KB = 5x thì KC = 3x, do đó BC = KB - KC = 2x và BC/CK = 2/3.

Xét mặt phẳng (SBC) chứa đường thẳng CE. Giao tuyến của (SBC) và (SAD) là đường thẳng SK (vì S thuộc cả hai mặt phẳng, K = BC ∩ AD thuộc cả hai mặt phẳng). Vì CE // (SAD) và CE nằm trong (SBC) nên CE // SK.

Trong tam giác SBK, C thuộc BK và CE // SK nên theo định lý Thales: BE/ES = BC/CK = 2/3. Vậy ES/EB = 3/2, tức m = 3, n = 2 (phân số tối giản).

Do đó 2m + 3n = 2·3 + 3·2 = 12.