Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình thang vuông tại $A$ và $D$, $AB=3CD$. Gọi $O$ là giao điểm của $AC$ và $BD$. Mặt phẳng $(\alpha )$ đi qua $O$, song song với mặt phẳng $(SCD)$ và cắt các cạnh $AD,BC,SA,SB$ lần lượt tại các điểm $M,N,Q,P$. Biết rằng tam giác $SCD$ là tam giác vuông tại $D$ và, $CD=4$, $SD=8$. Diện tích của tứ giác $MNPQ$ bằng bao nhiêu?

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ trục $D(0,0,0)$, $C(4,0,0)$, $A(0,h,0)$, $B(12,h,0)$ (vì đáy là hình thang vuông tại $A,D$, $AB\parallel CD$, $AB=3CD=12$), $S(0,0,8)$. Mặt phẳng $(SCD)$ chứa $DC$ và $DS$ nên là mặt phẳng $y=0$; do $(\alpha )\parallel (SCD)$ đi qua $O$ nên $(\alpha ):y=y_O$. Tính giao điểm: $O=AC\cap BD$ với $\frac{AO}{AC}=\frac{AB}{AB+CD}=\frac{3}{4}$, suy ra $O=(3,\frac{h}{4},0)$, tức $y_O=\frac{h}{4}$ (kiểm tra $O$ nằm trên $BD$ với tỉ số $1/4$ từ $D$). Vậy $(\alpha ):y=\frac{h}{4}$.

Tọa độ các điểm:
- $M\in AD$: $M(0,\frac{h}{4},0)$;
- $N\in BC$: $B(12,h,0)$ đến $C(4,0,0)$, tại $y=\frac{h}{4}$ ứng $t=\frac{3}{4}$: $N(6,\frac{h}{4},0)$;
- $Q\in SA$: $S(0,0,8)$ đến $A(0,h,0)$, tại $y=\frac{h}{4}$ ứng $t=\frac{1}{4}$ từ $S$: $Q(0,\frac{h}{4},6)$;
- $P\in SB$: $t=\frac{1}{4}$ từ $S$: $P(3,\frac{h}{4},6)$.

Bốn điểm cùng nằm trong mặt phẳng $y=\frac{h}{4}$; dùng tọa độ $(x,z)$: $M(0,0)$, $N(6,0)$, $P(3,6)$, $Q(0,6)$. Tứ giác $MNPQ$ là hình thang với hai đáy song song $MN=6$, $PQ=3$ và chiều cao $6$:
$$S_{MNPQ}=\frac{(6+3)\cdot 6}{2}=27.$$
Vậy diện tích tứ giác $MNPQ$ bằng $27$.