Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình thoi cạnh bằng $2$, góc $\widehat{BAD}=60^{\circ }$. Gọi $O$ là giao điểm của hai đường chéo $AC$ và $BD$. Biết rằng hình chiếu vuông góc của đỉnh $S$ trên mặt phẳng $(ABCD)$ là trung điểm $H$ của đoạn thẳng $OB$ và $SH=\sqrt{3}$. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng $SA$ và $BD$ (không làm tròn kết quả các phép tính trung gian, chỉ làm tròn kết quả cuối cùng đến hàng phần trăm).

Trong không gian $Oxyz$ với đơn vị tính bằng $1\text{ cm}$, cho mặt nón đỉnh $S(0;0;7)$ có đáy là đường tròn tâm $O$, bán kính bằng $3\text{ cm}$ và $A(4;3;5)$; $M$ là điểm thay đổi trên mặt nón.

Giá trị nhỏ nhất của độ dài $AM$ bằng bao nhiêu $\text{cm}$? (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).

Cho hình chóp $S.ABCD$ có $SA=1$ và $SA\perp (ABCD)$. Đáy $ABCD$ là hình chữ nhật với $AB=1,BC=2$; $M$ là trung điểm của cạnh $BC$ (tham khảo hình vẽ bên).

Khoảng cách giữa $SB$ và $DM$ bằng

Sau một trận lũ lớn, một trạm cứu hộ sử dụng drone để vận chuyển nhu yếu phẩm đến người dân bị cô lập. Chọn hệ trục $Oxyz$ với gốc $O$ đặt tại trạm cứu hộ, mặt phẳng $(Oxy)$ trùng với mặt đất, trục $Oz$ hướng thẳng đứng lên trời, đơn vị đo tính theo mét. Một chiếc drone chưa được sạc đầy pin xuất phát từ trạm, phát hiện được hai địa điểm cần cứu hộ ở trên nóc hai tòa nhà là $A(120;90;30)$ và $B(40;30;10)$. Sau khi bay đến điểm $A$, drone chỉ còn đủ pin để bay $40\%$ quãng đường từ $A$ đến $B$. Các kết quả làm tròn đến hàng đơn vị.

Trong một sân vận động, chọn hệ tọa độ $Oxyz$, đơn vị đo là mét, trong đó mặt sân nằm trên mặt phẳng $Oxy$ và trục $Oz$ vuông góc với mặt sân. Một hệ thống camera tự động được lắp trên một thanh ray cố định ở phía trên sân. Hai đầu của thanh ray lần lượt có tọa độ là $A(0;6;8)$ và $B(12;6;8)$. Camera có thể di chuyển dọc theo đoạn ray $AB$. Một cầu thủ đang đứng cố định tại vị trí $C(6;0;0)$. Gọi $M$ là vị trí của camera. Để hình ảnh cầu thủ rõ nét, nhà sản xuất quy định độ phóng đại hiệu dụng của camera tỉ lệ nghịch với bình phương khoảng cách từ camera đến cầu thủ. Do đó để hình ảnh đạt chất lượng cao nhất, cần tìm vị trí của điểm $M$ để khoảng cách $CM$ nhỏ nhất. Điểm $M$ cách đầu ray $A$ bao nhiêu mét để khoảng cách từ camera đến cầu thủ là nhỏ nhất?

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh $a$. Mặt bên $(SAB)$ là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Trên cạnh $SB$ lấy điểm $M$ sao cho $SB=3SM$. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng $AM$ và $SD$.

Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$, đơn vị trên mỗi trục tọa độ là mét, một thiết bị phát tia laser được đặt tại điểm $A(4;5;12)$. Thiết bị này chiếu một tia sáng về phía bức tường phẳng trùng với mặt phẳng tọa độ $(Oyz)$. Biết rằng tia sáng phát ra luôn thay đổi nhưng luôn tạo với trục $Ox$ một góc $45^{\circ }$. Gọi $M$ là vị trí vệt sáng laser chiếu lên bức tường. Khoảng cách lớn nhất từ vệt sáng $M$ đến gốc tọa độ $O$ bằng bao nhiêu mét?