Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a. H là trung điểm AB. Biết và SD = 3a. a) Chứng minh rằng b) Tính khoảng cách từ H đến (SCD).
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a. H là trung điểm AB. Biết và SD = 3a. a) Chứng minh rằng b) Tính khoảng cách từ H đến (SCD).
Đáp án chính thức: Tự luận
Hướng dẫn giải chi tiết
(AI giải đề cho tôi)
Đặt hệ tọa độ A(0;0;0), B(2a;0;0), D(0;2a;0), H(a;0;0) (trung điểm AB). Vì SH⊥(ABCD) nên S(a;0;h). Ta có HD = √(AH²+AD²) = √(a²+4a²) = a√5, nên SH = √(SD²−HD²) = √(9a²−5a²) = 2a, tức S(a;0;2a).
a) Vì AD⊥AB (đáy là hình vuông) và AD⊥SH (SH⊥(ABCD)) nên AD⊥(SAB). Mà SB⊂(SAB) nên AD⊥SB. (Kiểm tra tọa độ: SB = (a;0;−2a)... thực tế AD = (0;2a;0), SB = B−S = (a;0;−2a), tích vô hướng = 0 ✓.)
b) Vì HB∥CD (H thuộc AB) và CD⊂(SCD) nên d(H,(SCD)) = d(B,(SCD)) = d(A,(SCD)) (vì AB∥CD).
Mặt phẳng (SCD) đi qua D(0;2a;0), C(2a;2a;0), S(a;0;2a). DC = (2a;0;0), DS = (a;−2a;2a), vecto pháp tuyến n = DC×DS = (0;−4a²;−4a²) ∝ (0;1;1). Phương trình (SCD): y + z = 2a.
Khoảng cách từ H(a;0;0) đến (SCD): d = |0+0−2a|/√2 = 2a/√2 = a√2.
Kiểm tra bằng thể tích: V(S.ACD) = (1/3)·S_{ACD}·SH = (1/3)·2a²·2a = 4a³/3. Diện tích tam giác SCD = ½|DC×DS| = 2a²√2. Khoảng cách từ A (nên cũng từ H) = 3V/S_{SCD} = 4a³/(2a²√2) = 2a/√2 = a√2 ✓. Kết quả nhất quán: d(H,(SCD)) = a√2.
Đặt hệ tọa độ A(0;0;0), B(2a;0;0), D(0;2a;0), H(a;0;0) (trung điểm AB). Vì SH⊥(ABCD) nên S(a;0;h). Ta có HD = √(AH²+AD²) = √(a²+4a²) = a√5, nên SH = √(SD²−HD²) = √(9a²−5a²) = 2a, tức S(a;0;2a).
a) Vì AD⊥AB (đáy là hình vuông) và AD⊥SH (SH⊥(ABCD)) nên AD⊥(SAB). Mà SB⊂(SAB) nên AD⊥SB. (Kiểm tra tọa độ: SB = (a;0;−2a)... thực tế AD = (0;2a;0), SB = B−S = (a;0;−2a), tích vô hướng = 0 ✓.)
b) Vì HB∥CD (H thuộc AB) và CD⊂(SCD) nên d(H,(SCD)) = d(B,(SCD)) = d(A,(SCD)) (vì AB∥CD).
Mặt phẳng (SCD) đi qua D(0;2a;0), C(2a;2a;0), S(a;0;2a). DC = (2a;0;0), DS = (a;−2a;2a), vecto pháp tuyến n = DC×DS = (0;−4a²;−4a²) ∝ (0;1;1). Phương trình (SCD): y + z = 2a.
Khoảng cách từ H(a;0;0) đến (SCD): d = |0+0−2a|/√2 = 2a/√2 = a√2.
Kiểm tra bằng thể tích: V(S.ACD) = (1/3)·S_{ACD}·SH = (1/3)·2a²·2a = 4a³/3. Diện tích tam giác SCD = ½|DC×DS| = 2a²√2. Khoảng cách từ A (nên cũng từ H) = 3V/S_{SCD} = 4a³/(2a²√2) = 2a/√2 = a√2 ✓. Kết quả nhất quán: d(H,(SCD)) = a√2.