Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh bằng 1, cạnh bên $SA$ vuông góc với đáy. Góc giữa đường thẳng $SC$ và mặt phẳng $(ABCD)$ bằng $45^{\circ }$. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng $SC$ và $BD$.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $O$ là tâm hình vuông $ABCD$. Vì $SA\perp (ABCD)$ nên góc giữa $SC$ và $(ABCD)$ là $\widehat{SCA}=45^{\circ }$, suy ra $SA=AC\tan 45^{\circ }=\sqrt{2}\cdot 1=\sqrt{2}$. Đặt hệ tọa độ: $A(0;0;0)$, $B(1;0;0)$, $C(1;1;0)$, $D(0;1;0)$, $S(0;0;\sqrt{2})$. Đường thẳng $SC$ có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u_1}=(1;1;-\sqrt{2})$, đường thẳng $BD$ có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u_2}=(-1;1;0)$, và $\overrightarrow{BC}=(0;1;0)$. Ta có $\overrightarrow{u_1}\times \overrightarrow{u_2}=(\sqrt{2};\sqrt{2};2)$ với độ dài $\sqrt{2+2+4}=2\sqrt{2}$. Khoảng cách $d(SC,BD)=\frac{|\overrightarrow{BC}\cdot (\overrightarrow{u_1}\times \overrightarrow{u_2})|}{|\overrightarrow{u_1}\times \overrightarrow{u_2}|}=\frac{\sqrt{2}}{2\sqrt{2}}=\frac{1}{2}$. Vậy khoảng cách giữa hai đường thẳng $SC$ và $BD$ bằng $\frac{1}{2}$.