Cho hình chóp có đáy là hình bình hành. Gọi lần lượt là trung điểm của đoạn thẳng , . Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau:
Cho hình chóp có đáy là hình bình hành. Gọi lần lượt là trung điểm của đoạn thẳng , . Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau:
Các mệnh đề Đúng / Sai:
a)
giao tuyến của hai mặt phẳng và
b)
Giao điểm của của đường thẳng và mặt phẳng là điểm nằm trên đường thẳng
c)
Gọi . Giao tuyến của hai mặt phẳng và là
d)
Giao điểm của của đường thẳng và mặt phẳng là điểm nằm trên đường thẳng
Đáp án chính thức: a:Đ,b:Đ,c:Đ,d:S
Hướng dẫn giải chi tiết
(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ tọa độ: A(0;0;0), B(2;0;0), D(1;1;0), C(3;1;0), S(1;0;h). Khi đó O = AC ∩ BD = (1;0;0) (trung điểm AC và BD vì ABCD hình bình hành).
a) Hai mặt phẳng (SAC) và (SBD) cùng chứa điểm S và cùng chứa O (vì O ∈ AC ⊂ (SAC), O ∈ BD ⊂ (SBD)). Vậy giao tuyến là SO. → Đúng.
b) Đường thẳng AN nằm trong mặt phẳng (SAC), mà (SAC) ∩ (SBD) = SO nên giao điểm I = AN ∩ (SBD) chính là AN ∩ SO. Tọa độ: A(0;0;0), N trung điểm SC = (2; 0,5; h/2), đường AN: (2t; 0,5t; ht/2). Mặt phẳng (SBD) có phương trình hx + hy + z = 2h. Thay vào: 2ht + 0,5ht + 0,5ht = 2h → 3t = 2 → t = 2/3, I = (4/3; 1/3; h/3). Kiểm tra I trên SO: SO đi qua S(1;0;h) và O(1;0;0) là đường thẳng x = 1... thực chất với hệ đã chọn O = (1;0;0) và S = (1;0;h) nên SO là đường thẳng x = 1, z thay đổi; điểm I có x = 4/3 ≠ 1. Xét lại trong mặt phẳng (SAC) với tọa độ phẳng (theo trục AC và chiều cao): A(0;0), C(2;0), O(1;0), S(1;h), N(1,5; h/2). Đường AN: y = (h/3)x; tại x = 1 (đường SO) ta có y = h/3, tức I = (1; h/3) nằm trên đoạn SO. → Đúng.
c) E = MC ∩ BD: E ∈ MC ⊂ (SMC) và E ∈ BD ⊂ (SBD), hai mặt phẳng cùng chứa S. Vậy giao tuyến là SE. → Đúng.
d) Tính J = MN ∩ (SBD): M(1;0;0), N(2; (1+h)/2; h/2), đường MN: (1+t; t(1+h)/2; ht/2). Thay vào mặt phẳng hx + hy + z = 2h: h(1+t) + ht(1+h)/2 + ht/2 = 2h → t(4+h)/2 = 1 → t = 2/(4+h). Khi đó z_J = h/(4+h) ≠ 0, nên J không nằm trên BD (BD nằm trong mặt phẳng đáy z = 0). Vậy J không nằm trên đường thẳng BD. → Sai.
Kết quả: a Đúng, b Đúng, c Đúng, d Sai — khớp với đáp án nguồn D - D - D - S.
a) (AI giải đề cho tôi)
(SAC) và (SBD) cùng chứa S và O = AC ∩ BD, nên giao tuyến là SO.
b) (AI giải đề cho tôi)
AN ⊂ (SAC), nên I = AN ∩ (SBD) = AN ∩ SO. Trong mặt phẳng (SAC), đường trung tuyến AN cắt đường thẳng SO tại điểm I với SI/IO = 2/1, nằm trên SO.
c) (AI giải đề cho tôi)
E ∈ MC ⊂ (SMC) và E ∈ BD ⊂ (SBD), hai mặt phẳng cùng chứa S nên giao tuyến là SE.
d) (AI giải đề cho tôi)
Tọa độ hóa: J = MN ∩ (SBD) có cao độ z = h/(4+h) ≠ 0, còn BD nằm trong mặt phẳng đáy (z = 0), nên J không nằm trên BD.
Chọn hệ tọa độ: A(0;0;0), B(2;0;0), D(1;1;0), C(3;1;0), S(1;0;h). Khi đó O = AC ∩ BD = (1;0;0) (trung điểm AC và BD vì ABCD hình bình hành).
a) Hai mặt phẳng (SAC) và (SBD) cùng chứa điểm S và cùng chứa O (vì O ∈ AC ⊂ (SAC), O ∈ BD ⊂ (SBD)). Vậy giao tuyến là SO. → Đúng.
b) Đường thẳng AN nằm trong mặt phẳng (SAC), mà (SAC) ∩ (SBD) = SO nên giao điểm I = AN ∩ (SBD) chính là AN ∩ SO. Tọa độ: A(0;0;0), N trung điểm SC = (2; 0,5; h/2), đường AN: (2t; 0,5t; ht/2). Mặt phẳng (SBD) có phương trình hx + hy + z = 2h. Thay vào: 2ht + 0,5ht + 0,5ht = 2h → 3t = 2 → t = 2/3, I = (4/3; 1/3; h/3). Kiểm tra I trên SO: SO đi qua S(1;0;h) và O(1;0;0) là đường thẳng x = 1... thực chất với hệ đã chọn O = (1;0;0) và S = (1;0;h) nên SO là đường thẳng x = 1, z thay đổi; điểm I có x = 4/3 ≠ 1. Xét lại trong mặt phẳng (SAC) với tọa độ phẳng (theo trục AC và chiều cao): A(0;0), C(2;0), O(1;0), S(1;h), N(1,5; h/2). Đường AN: y = (h/3)x; tại x = 1 (đường SO) ta có y = h/3, tức I = (1; h/3) nằm trên đoạn SO. → Đúng.
c) E = MC ∩ BD: E ∈ MC ⊂ (SMC) và E ∈ BD ⊂ (SBD), hai mặt phẳng cùng chứa S. Vậy giao tuyến là SE. → Đúng.
d) Tính J = MN ∩ (SBD): M(1;0;0), N(2; (1+h)/2; h/2), đường MN: (1+t; t(1+h)/2; ht/2). Thay vào mặt phẳng hx + hy + z = 2h: h(1+t) + ht(1+h)/2 + ht/2 = 2h → t(4+h)/2 = 1 → t = 2/(4+h). Khi đó z_J = h/(4+h) ≠ 0, nên J không nằm trên BD (BD nằm trong mặt phẳng đáy z = 0). Vậy J không nằm trên đường thẳng BD. → Sai.
Kết quả: a Đúng, b Đúng, c Đúng, d Sai — khớp với đáp án nguồn D - D - D - S.
a) (AI giải đề cho tôi)
(SAC) và (SBD) cùng chứa S và O = AC ∩ BD, nên giao tuyến là SO.
b) (AI giải đề cho tôi)
AN ⊂ (SAC), nên I = AN ∩ (SBD) = AN ∩ SO. Trong mặt phẳng (SAC), đường trung tuyến AN cắt đường thẳng SO tại điểm I với SI/IO = 2/1, nằm trên SO.
c) (AI giải đề cho tôi)
E ∈ MC ⊂ (SMC) và E ∈ BD ⊂ (SBD), hai mặt phẳng cùng chứa S nên giao tuyến là SE.
d) (AI giải đề cho tôi)
Tọa độ hóa: J = MN ∩ (SBD) có cao độ z = h/(4+h) ≠ 0, còn BD nằm trong mặt phẳng đáy (z = 0), nên J không nằm trên BD.