Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình bình hành tâm $I$.
1. Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng $(SAB)$ và $(SCD)$.
2. Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng $(SAC)$ và $(SBD)$.
3. Gọi $M,N$ lần lượt là trọng tâm tam giác $ABC$ và tam giác $ABI$, $K$ là điểm trên cạnh $SB$ sao cho $SB=3SK$.
a) Chứng minh $MK\parallel (SAC)$.
b) Chứng minh $(MNK)\parallel (SAC)$.
c) Tìm $H$ là giao điểm của $DK$ và $(SAC)$. Tính $\frac{HK}{HD}$.
d) Tìm $E$ là giao điểm của $SA$ và $(DKN)$. Tính $\frac{ES}{EA}$.
4. Gọi $(\alpha )$ là mặt phẳng qua $M$ và song song mặt phẳng $(SDC)$. Tìm giao tuyến của $(\alpha )$ với các mặt của hình chóp.

(AI giải đề cho tôi)
Lời giải Bài 21 (đáy $ABCD$ là hình bình hành tâm $I$, nên $I$ là trung điểm $AC$ và $BD$; theo vectơ $I=\frac{A+C}{2}=\frac{B+D}{2}$).

**1.** $AB\parallel CD$, $AB\subset (SAB)$, $CD\subset (SCD)$ nên $AB\parallel (SCD)$. Hai mặt phẳng $(SAB)$, $(SCD)$ có điểm chung $S$. Vậy giao tuyến là đường thẳng $d$ qua $S$ và song song với $AB$ (cũng song song với $CD$).

**2.** $(SAC)$ và $(SBD)$ cùng chứa $S$ và $I$ (vì $I\in AC\cap BD$). Vậy giao tuyến là đường thẳng $SI$.

**3.** Với $K=\frac{2S+B}{3}$ (vì $SK=\frac{1}{3}SB$), $M=\frac{A+B+C}{3}$, $N=\frac{A+B+I}{3}=\frac{A}{2}+\frac{B}{3}+\frac{C}{6}$.

a) $\overrightarrow{MK}=K-M=\frac{2S-(A+C)}{3}=\frac{2}{3}\overrightarrow{IS}$. Vậy $MK\parallel SI\subset (SAC)$ mà $MK\not\subset (SAC)$, suy ra $MK\parallel (SAC)$.

b) $\overrightarrow{MN}=N-M=\frac{I-C}{3}=\frac{A-C}{6}=\frac{1}{6}\overrightarrow{CA}$, nên $MN\parallel AC\parallel (SAC)$. Hai đường thẳng cắt nhau $MK,MN$ cùng song song $(SAC)$ nên $(MNK)\parallel (SAC)$.

c) $H=DK\cap (SAC)$: trong mặt phẳng $(SBD)$, $(SAC)$ cắt $(SBD)$ theo $SI$. Giải $D+t(K-D)=S+u(I-S)$ với $K=\frac{2S+B}{3}$, $I=\frac{B+D}{2}$: so sánh hệ số theo $S,B,D$ cho $t=\frac{3}{4}$, $u=\frac{1}{2}$. Vậy $\overrightarrow{DH}=\frac{3}{4}\overrightarrow{DK}$, do đó $\frac{HK}{HD}=\frac{1/4}{3/4}=\frac{1}{3}$.

d) $E=SA\cap (DKN)$. Vì $NK\subset (MNK)\parallel (SAC)$ nên $(DKN)$ cắt $(SAC)$ theo đường qua $D$ song song $NK$. Dùng vectơ: $E=S+v(A-S)=D+a(K-D)+b(N-D)$, với $D=A+C-B$; so sánh hệ số theo $S,A,B,C$ ta được $1-v=\frac{2a}{3}$, $v=1-a-\frac{b}{2}$, $a+b=\frac{3}{2}$, $1=a+\frac{7b}{6}$, giải ra $b=-3$, $a=\frac{9}{2}$, $v=-\frac{1}{2}$. Vậy $\overrightarrow{SE}=-\frac{1}{2}\overrightarrow{SA}$: $E$ nằm trên tia đối tia $SA$ với $ES=\frac{1}{2}SA$, $EA=\frac{3}{2}SA$, suy ra $\frac{ES}{EA}=\frac{1}{3}$.

Kiểm tra bằng tọa độ: $A=(0;0;0)$, $B=(1;0;0)$, $D=(0;1;0)$, $C=(1;1;0)$, $S=(0;0;3)$. Khi đó $K=\left(\frac{1}{3};0;2\right)$, $N=\left(\frac{1}{2};\frac{1}{6};0\right)$, mặt phẳng $(DKN)$: $5x+3y+2z=3$; giao với trục $SA$ (trục $Oz$) tại $E=\left(0;0;\frac{3}{2}\right)$, nên $ES=\frac{3}{2}$, $EA=\frac{9}{2}$, $\frac{ES}{EA}=\frac{1}{3}$ ✓.

**4.** $(\alpha )$ qua $M$ và $\parallel (SDC)$ nên chứa đường qua $M$ song song $DC$ ($p$) và đường qua $M$ song song $SD$ ($m$).

- Với đáy $(ABCD)$: giao tuyến là $p$, cắt $AD$ tại $P$ với $AP=\frac{1}{3}AD$ và cắt $BC$ tại $Q$ với $BQ=\frac{1}{3}BC$; $PQ\parallel AB\parallel CD$.
- Với $(SAD)$: giao tuyến $\parallel SD$; $m$ cắt $(SAD)$ tại $T\in SA$ với $AT=\frac{1}{3}SA$; giao tuyến là $PT\parallel SD$.
- Với $(SAB)$: giao tuyến $\parallel AB$; $m$ cắt $(SAB)$ tại $R\in SB$ với $RB=\frac{1}{3}SB$; giao tuyến là $TR\parallel AB$.
- Với $(SBC)$: giao tuyến $\parallel SC$; đường qua $R$ song song $SC$ cắt $BC$ tại $Q$; giao tuyến là $RQ\parallel SC$.
- Vì $(\alpha )\parallel (SDC)$ và $M\notin (SCD)$ nên $(\alpha )$ không cắt mặt $(SCD)$.

Kết luận: thiết diện là tứ giác $TRQP$ với $T\in SA(AT=\frac{1}{3}SA)$, $R\in SB(RB=\frac{1}{3}SB)$, $Q\in BC(BQ=\frac{1}{3}BC)$, $P\in AD(AP=\frac{1}{3}AD)$; khi đó $TR\parallel AB$, $RQ\parallel SC$, $QP\parallel AB$, $PT\parallel SD$.