Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình chữ nhật, $AB=8$ và $BC=4\sqrt{3}$. Gọi $M$ là trung điểm của $DC$. Biết $SM=SA=SB=\frac{8\sqrt{6}}{3}$.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ trục: $A(0;0;0)$, $B(8;0;0)$, $C(8;4\sqrt{3};0)$, $D(0;4\sqrt{3};0)$, $M(4;4\sqrt{3};0)$. Vì $SA=SB=SM$, hình chiếu $O$ của $S$ lên mặt đáy là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABM$, suy ra $O(4;\frac{4}{\sqrt{3}};0)$, $O{A}^2=16+\frac{16}{3}=\frac{64}{3}$. Với $S{A}^2=\frac{128}{3}$, chiều cao $h=SO=\sqrt{\frac{128}{3}-\frac{64}{3}}=\frac{8}{\sqrt{3}}$, tức $S(4;\frac{4}{\sqrt{3}};\frac{8}{\sqrt{3}})$.

a) $S_{ABM}=\frac{1}{2}\cdot 8\cdot 4\sqrt{3}=16\sqrt{3}$, nên $V_{SABM}=\frac{1}{3}\cdot 16\sqrt{3}\cdot \frac{8}{\sqrt{3}}=\frac{128}{3}$. Đúng.

b) $S{C}^2=(8-4{)}^2+{\left(4\sqrt{3}-\frac{4}{\sqrt{3}}\right)}^2+h^2=16+\frac{64}{3}+\frac{64}{3}=\frac{176}{3}\Rightarrow SC=\frac{4\sqrt{33}}{3}$; còn $S{D}^2=16+\frac{16}{3}+\frac{64}{3}=\frac{128}{3}\Rightarrow SD=\frac{8\sqrt{6}}{3}$. Vậy $SC\ne SD=\frac{4\sqrt{11}}{3}$. Sai.

c) $\overrightarrow{AB}=(1;0;0)$, $\overrightarrow{DS}=(4;-\frac{8}{\sqrt{3}};\frac{8}{\sqrt{3}})$, $\overrightarrow{DA}=(0;-4\sqrt{3};0)$. $\overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{DS}=(0;-\frac{8}{\sqrt{3}};-\frac{8}{\sqrt{3}})$, độ dài $\frac{8\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$; tích hỗn hợp bằng $32$, nên $d(AB,SD)=\frac{32}{8\sqrt{2}/\sqrt{3}}=2\sqrt{6}\ne 3\sqrt{6}$. Sai.

d) Hình chiếu của $B$ và $D$ trên đường thẳng $SM$: $H_1=(4;2\sqrt{3};2\sqrt{3})$ (với $\overrightarrow{H_{1}B}=(4;-2\sqrt{3};-2\sqrt{3})$, $|\overrightarrow{H_{1}B}|=2\sqrt{10}$) và $H_2=M$ (với $\overrightarrow{MD}=(-4;0;0)$). $\cos [B,SM,D]=\frac{\overrightarrow{H_{1}B}\cdot \overrightarrow{MD}}{2\sqrt{10}\cdot 4}=\frac{-16}{8\sqrt{10}}=-\frac{2}{\sqrt{10}}$. Đúng.

Kết luận: a đúng, b sai, c sai, d đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
$V_{SABM}=\frac{1}{3}\cdot S_{ABM}\cdot SO=\frac{1}{3}\cdot 16\sqrt{3}\cdot \frac{8}{\sqrt{3}}=\frac{128}{3}$ với $SO=\frac{8}{\sqrt{3}}$ là khoảng cách từ $S$ đến mặt đáy.
b) (AI giải đề cho tôi)
Tính tọa độ cho $SC=\frac{4\sqrt{33}}{3}$ và $SD=\frac{8\sqrt{6}}{3}$, nên $SC\ne SD$ và không bằng $\frac{4\sqrt{11}}{3}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Khoảng cách giữa $AB$ và $SD$ tính được bằng $2\sqrt{6}$, không phải $3\sqrt{6}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Dùng hình chiếu của $B$ và $D$ lên $SM$: $\cos [B,SM,D]=\frac{-16}{8\sqrt{10}}=-\frac{2}{\sqrt{10}}$.