Cho hình chóp $SABCD$, có đáy là hình vuông cạnh $a$, tam giác $SAB$ đều. Gọi $M$ là điểm trên cạnh $AD$ sao cho $AM=x,x\in (0;a)$. Mặt phẳng $(\alpha )$ đi qua $M$ và song song với $(SAB)$ lần lượt cắt các cạnh $CB,CS,SD$ tại $N,P,Q$. Để diện tích $MNPQ$ bằng $\frac{a^2\sqrt{3}}{5}$ thì $x=t.a$. Tìm $t$.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ trục: $A(0;0;0)$, $B(a;0;0)$, $C(a;a;0)$, $D(0;a;0)$. Vì $SAB$ đều cạnh $a$ nên $S\left(\frac{a}{2};0;\frac{a\sqrt{3}}{2}\right)$. Ba điểm $A,B,S$ đều có tung độ $y=0$ nên mặt phẳng $(SAB)$ là mặt phẳng $y=0$. Mặt phẳng $(\alpha )$ qua $M(0;x;0)$ và song song với $(SAB)$ là mặt phẳng $y=x$.

Tìm giao điểm:
- $N$ trên $CB$: $N(a;x;0)$, nên $MN=a$.
- $P$ trên $CS$: với $t=1-\frac{x}{a}$, $P\left(\frac{a+x}{2};x;\frac{(a-x)\sqrt{3}}{2}\right)$.
- $Q$ trên $SD$: $Q\left(\frac{a-x}{2};x;\frac{(a-x)\sqrt{3}}{2}\right)$.

Trong mặt phẳng $y=x$, $MN\parallel QP$ (cùng phương trục $Ox$) với $MN=a$, $QP=\frac{a+x}{2}-\frac{a-x}{2}=x$, chiều cao (khoảng cách theo phương $Oz$) là $h=\frac{(a-x)\sqrt{3}}{2}$.

Diện tích hình thang: $S_{MNPQ}=\frac{a+x}{2}\cdot \frac{(a-x)\sqrt{3}}{2}=\frac{\sqrt{3}(a^2-x^2)}{4}$.

Theo đề: $\frac{\sqrt{3}(a^2-x^2)}{4}=\frac{a^2\sqrt{3}}{5}\Rightarrow a^2-x^2=\frac{4a^2}{5}\Rightarrow x^2=\frac{a^2}{5}\Rightarrow x=\frac{a}{\sqrt{5}}$ (thỏa $x\in (0;a)$).

Vậy $t=\frac{1}{\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{5}}{5}\approx 0,45$.