Cho hình chóp $S.ABCD$ có $SA\perp (ABCD)$, $SA=2a$ và đáy $ABCD$ là hình chữ nhật với $AB=a$, $AD=a\sqrt{2}$. Gọi $I$ là trung điểm của $SD$, tính $\cos \left(\overrightarrow{AI},\overrightarrow{SC}\right)$ (Làm tròn đến hàng phần chục).

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ trục: A(0;0;0), B(a;0;0), D(0;a√2;0), C(a;a√2;0), S(0;0;2a). I trung điểm SD nên I(0; a√2/2; a). Khi đó vector AI = (0; a√2/2; a), vector SC = (a; a√2; -2a). Tích vô hướng: AI·SC = 0 + (a√2/2)(a√2) + a(-2a) = a² - 2a² = -a². Độ dài: |AI| = √(a²/2 + a²) = a√(3/2), |SC| = √(a² + 2a² + 4a²) = a√7. Vậy cos(AI, SC) = -a²/(a√(3/2)·a√7) = -1/√(21/2) = -√(2/21) ≈ -0,309 ≈ -0,3, khớp với đáp án nguồn.