Cho hình chóp $S.ABCD$ đáy $ABCD$ là hình bình hành. $M$, $N$, $K$ là lượt là trung điểm của $AB$, $SC$ và $SD$. $I$ là giao điểm của $AN$ và $(SBD)$. $J$ là giao điểm của $MN$ với $(SBD)$.

a) Tìm giao tuyến của $(SAC)$ và $(SBD)$.

b) Tính tỉ số $\frac{IB}{IJ}$?

(AI giải đề cho tôi)
a) Gọi $O=AC\cap BD$ (tâm hình bình hành). Hai mặt phẳng $(SAC)$ và $(SBD)$ cùng chứa điểm $S$ và cùng chứa đường thẳng $AC$, $BD$ cắt nhau tại $O$ (vì $O\in AC\subset (SAC)$ và $O\in BD\subset (SBD)$). Vậy giao tuyến là $SO$ với $O=BD\cap AC$.

b) Thiết lập hệ trục toạ độ: $A=(0;0;0)$, $B=(2;0;0)$, $D=(0;2;0)$, $C=(2;2;0)$, $S=(1;1;2)$, $O=(1;1;0)$. Khi đó $N$ trung điểm $SC$ là $N=(1,5;1,5;1)$, $M$ trung điểm $AB$ là $M=(1;0;0)$.

Mặt phẳng $(SBD)$: vectơ pháp tuyến từ $\overrightarrow{BD}=(-2;2;0)$ và $\overrightarrow{BS}=(-1;1;2)$ là $(4;4;0)$, nên $(SBD):x+y=2$.

Đường $AN$: $(1,5t;1,5t;t)$. Giao với $x+y=2$: $3t=2\Rightarrow t=\frac{2}{3}$, suy ra $I=\left(1;1;\frac{2}{3}\right)$ (nằm trên $SO$ với $\frac{SI}{SO}=\frac{2}{3}$).

Đường $MN$: $(1;0;0)+t(0,5;1,5;1)$. Giao với $x+y=2$: $1+2t=2\Rightarrow t=\frac{1}{2}$, suy ra $J=\left(1,25;0,75;0,5\right)$.

Tính độ dài:
$$I{B}^2=(2-1{)}^2+(0-1{)}^2+{\left(0-\frac{2}{3}\right)}^2=1+1+\frac{4}{9}=\frac{22}{9},$$
$$I{J}^2={\left(\frac{1}{4}\right)}^2+{\left(-\frac{1}{4}\right)}^2+{\left(-\frac{1}{6}\right)}^2=\frac{1}{16}+\frac{1}{16}+\frac{1}{36}=\frac{11}{72}.$$
Vậy $\frac{IB}{IJ}=\sqrt{\frac{22/9}{11/72}}=\sqrt{16}=4$.

Kết quả khớp với đáp án nguồn: a) $SO$, $O=BD\cap AC$; b) $\frac{IB}{IJ}=4$.