Cho hình chóp $S.ABCD$, đáy $ABCD$ là hình chữ nhật có $AB=a,SA=SB=SC=SD=\frac{a\sqrt{5}}{2}$. Giá trị lớn nhất của thể tích khối chóp $S.ABCD$ bằng

Gọi $O$ là tâm hình chữ nhật $ABCD$. Vì các cạnh bên bằng nhau nên $SO\perp (ABCD)$.
Đặt $AD=x>0$. Khi đó bán kính đáy $R_{đ\acute{a}y}=OA=\frac{\sqrt{a^2+x^2}}{2}$.
Chiều cao $h=SO=\sqrt{S{A}^2-O{A}^2}=\sqrt{\frac{5a^2}{4}-\frac{a^2+x^2}{4}}=\frac{\sqrt{4a^2-x^2}}{2}$.
Thể tích $V=\frac{1}{3}{S}_{ABCD}\cdot SO=\frac{1}{3}ax\cdot \frac{\sqrt{4a^2-x^2}}{2}=\frac{a}{6}\sqrt{x^2(4a^2-x^2)}\le \frac{a}{6}\cdot \frac{x^2+(4a^2-x^2)}{2}=\frac{a}{6}\cdot 2a^2=\frac{a^3}{3}$.
Dấu bằng xảy ra khi $x^2=4a^2-x^2\iff x=a\sqrt{2}$. Giá trị lớn nhất là $\frac{a^3}{3}$.
Chọn B.