Cho hình chóp $S.ABCD$ đều có cạnh đáy bằng $a$, góc tạo bởi cạnh bên và mặt đáy bằng $45^{\circ }$. Tính thể tích $V$ của khối chóp $S.ABCD$.

Hình chóp $S.ABCD$ đều nên $SO\perp (ABCD)$ với $O$ là giao điểm của $AC$ và $BD$.
Góc giữa cạnh bên $SA$ và mặt đáy $(ABCD)$ là góc $\widehat{SAO}=45^{\circ }$.
Suy ra tam giác $SAO$ vuông cân tại $O\Rightarrow SO=AO=\frac{AC}{2}=\frac{a\sqrt{2}}{2}$.
Thể tích khối chóp $S.ABCD$ là $V=\frac{1}{3}{S}_{ABCD}\cdot SO=\frac{1}{3}{a}^2\cdot \frac{a\sqrt{2}}{2}=\frac{a^3\sqrt{2}}{6}$. Chọn A.