Cho hình chóp tứ giác đều $S.ABCD$ có cạnh đáy bằng $2a\sqrt{3}$, khoảng cách giữa hai đường thẳng $SA$ và $CD$ bằng $3a$. Thể tích khối chóp đã cho.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $CD\parallel AB$ nên $CD\parallel (SAB)$, do đó khoảng cách giữa $SA$ và $CD$ bằng khoảng cách từ $D$ đến mặt phẳng $(SAB)$. Đặt $SO=h$. Tọa độ hóa: $A(a\sqrt{6},0,0)$, $B(0,a\sqrt{6},0)$, $D(0,-a\sqrt{6},0)$, $S(0,0,h)$ (bán kính đường tròn ngoại tiếp đáy bằng $\frac{2a\sqrt{3}}{\sqrt{2}}=a\sqrt{6}$). Mặt phẳng $(SAB)$ có phương trình $hx+hy+a\sqrt{6}z=ha\sqrt{6}$. Khoảng cách từ $D$: $d=\frac{2ha\sqrt{6}}{\sqrt{2h^2+6a^2}}=3a$. Bình phương: $24h^2{a}^2=9a^2(2h^2+6a^2)\Rightarrow 6h^2=54a^2\Rightarrow h=3a$. Thể tích: $V=\frac{1}{3}\cdot (2a\sqrt{3}{)}^2\cdot 3a=\frac{1}{3}\cdot 12a^2\cdot 3a=12a^3$.