Cho khối lăng trụ đứng $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ có $A^{\prime }C=3a$, đáy $ABC$ là tam giác vuông cân tại $A$ và $BC=a\sqrt{3}$. Tính thể tích $V$ của khối lăng trụ đứng $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$.

(AI giải đề cho tôi)
Tam giác $ABC$ vuông cân tại $A$, $BC=a\sqrt{3}$ nên $AB=AC=\frac{a\sqrt{3}}{\sqrt{2}}=a\sqrt{\frac{3}{2}}$. Diện tích đáy: $S_{ABC}=\frac{1}{2}AB\cdot AC=\frac{1}{2}\cdot \frac{3a^2}{2}=\frac{3a^2}{4}$. Vì lăng trụ đứng nên $A{A}^{\prime }\perp (ABC)$, do đó tam giác $A^{\prime }AC$ vuông tại $A$: $A{A}^{\prime 2}=A^{\prime }{C}^2-A{C}^2=9a^2-\frac{3a^2}{2}=\frac{15a^2}{2}\Rightarrow A{A}^{\prime }=a\sqrt{\frac{15}{2}}=\frac{a\sqrt{30}}{2}$. Thể tích: $V=S_{ABC}\cdot A{A}^{\prime }=\frac{3a^2}{4}\cdot \frac{a\sqrt{30}}{2}=\frac{3\sqrt{30}\breve{0}000a^3}{8}$. Kiểm tra: ${\left(\frac{a\sqrt{30}}{2}\right)}^2+\frac{3a^2}{2}=\frac{30a^2}{4}+\frac{6a^2}{4}=\frac{36a^2}{4}=9a^2=(3a{)}^2$, thỏa mãn $A^{\prime }C=3a$. Lưu ý: ghi chú lỗi trong payload (nói đáp án là $\frac{9\sqrt{2}{a}^3}{8}$) không đúng với phần giải thực tế trong payload; phần giải đã tính đúng $A{A}^{\prime }=\frac{a\sqrt{30}}{2}$ và $V=\frac{3\sqrt{30}{a}^3}{8}$.