Một người vay ngân hàng 200 triệu đồng với lãi suất là 0,6% một tháng theo thỏa thuận: sau đúng một tháng kể từ ngày vay thì ông bắt đầu trả nợ và đều đặn cứ mỗi tháng người đó sẽ trả cho ngân hàng 9 triệu đồng cho đến khi hết nợ (biết rằng, tháng cuối cùng có thể trả dưới 9 triệu đồng). Hỏi sau bao nhiêu tháng thì người đó trả được hết nợ ngân hàng.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $D_n$ là số nợ còn lại sau lần trả thứ $n$ (lãi 0,6%/tháng, mỗi tháng trả 9 triệu). Ta có $D_n=1,006D_{n-1}-9$, suy ra công thức truy hồi tuyến tính cấp một:
$$D_n=200\cdot 1,006^n-9\cdot \frac{1,006^n-1}{0,006}=200\cdot 1,006^n-1500(1,006^n-1)=1500-1300\cdot 1,006^n.$$
Kiểm tra: $D_0=1500-1300=200$ (đúng số nợ ban đầu).

Hết nợ khi $D_n\le 0\iff 1,006^n\ge \frac{15}{13}\approx 1,153846$.

$$n\ge \frac{\ln (15/13)}{\ln 1,006}\approx \frac{0,14310}{0,0059821}\approx 23,92\Rightarrow n=24.$$

Kiểm tra: $1,006^{23}\approx 1,14749<1,153846$ (sau 23 tháng chưa hết nợ, còn $D_{23}\approx 1500-1300\cdot 1,14749\approx 8,26$ triệu); $1,006^{24}\approx 1,15438\ge 1,153846$ (hết nợ). Tháng cuối trả khoảng 8,26 triệu $<9$ triệu, phù hợp giả thiết.

Vậy sau 24 tháng người đó trả hết nợ.