Cho hình chóp tứ giác đều $S.ABCD$ có cạnh đáy bằng $a$, góc giữa cạnh bên với mặt đáy bằng $60^{\circ }$. Khoảng cách giữa $AB$ và mặt phẳng $(SCD)$ bằng

Gọi $O$ là tâm của đáy $ABCD$. Ta có $OA=\frac{a\sqrt{2}}{2}$ và góc giữa cạnh bên $SA$ với đáy là $\widehat{SAO}=60^{\circ }$.
Chiều cao khối chóp: $SO=OA\cdot \tan (60^{\circ })=\frac{a\sqrt{2}}{2}\cdot \sqrt{3}=\frac{a\sqrt{6}}{2}$.
Vì $AB\parallel CD\Rightarrow AB\parallel (SCD)$, do đó $d(AB,(SCD))=d(A,(SCD))=2d(O,(SCD))$.
Gọi $M$ là trung điểm $CD$, ta có $OM=\frac{a}{2}$. Kẻ $OH\perp SM$, ta được $d(O,(SCD))=OH$.
Xét tam giác vuông $SOM$: $\frac{1}{O{H}^2}=\frac{1}{S{O}^2}+\frac{1}{O{M}^2}=\frac{4}{6a^2}+\frac{4}{a^2}=\frac{14}{3a^2}\Rightarrow OH=\frac{a\sqrt{42}}{14}$.
Vậy $d(AB,(SCD))=2OH=\frac{a\sqrt{42}}{7}$.