Cho hình chóp tứ giác đều $S.ABCD$ có tất cả các cạnh đều bằng $a$. Gọi $M$ là trung điểm của $BC$ (tham khảo hình vẽ bên). Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng $SM$ và $BD$.

Chọn A.
Gọi $O=AC\cap BD\Rightarrow SO\perp (ABCD)$.
Gọi $N$ là trung điểm $CD$, suy ra $MN\parallel BD\Rightarrow BD\parallel (SMN)$.
Do đó $d(SM,BD)=d(BD,(SMN))=d(O,(SMN))$.
Gọi $I=MN\cap OC\Rightarrow I$ là trung điểm $OC$.
Ta có $MN\perp OI$ và $MN\perp SO\Rightarrow MN\perp (SOI)$.
Trong mặt phẳng $(SOI)$, kẻ $OH\perp SI$ ($H\in SI$) $\Rightarrow OH\perp (SMN)$, do đó $OH=d(O,(SMN))$.
Đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh $a\Rightarrow OB=OC=\frac{a\sqrt{2}}{2}\Rightarrow OI=\frac{1}{2}OC=\frac{a\sqrt{2}}{4}$.
$SO=\sqrt{S{B}^2-O{B}^2}=\sqrt{a^2-{\left(\frac{a\sqrt{2}}{2}\right)}^2}=\frac{a\sqrt{2}}{2}$.
Tam giác $SOI$ vuông tại $O$ có đường cao $OH$:
$OH=\frac{SO\cdot OI}{\sqrt{S{O}^2+O{I}^2}}=\frac{\frac{a\sqrt{2}}{2}\cdot \frac{a\sqrt{2}}{4}}{\sqrt{\frac{a^2}{2}+\frac{a^2}{8}}}=\frac{a\sqrt{10}}{10}$.
Vậy $d(SM,BD)=\frac{a\sqrt{10}}{10}$.