Cho hình hộp $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ có $\widehat{BAD}=60^{\circ }$, $AB=4$, $AD=3$; $O$ là tâm của hình hộp; $A_1$ là trung điểm của $A{A}^{\prime }$; $I$ là điểm thuộc đoạn thẳng $AO$ thỏa mãn $IO=2IA$. Mặt phẳng $(\alpha )$ thay đổi chứa đường thẳng $I{A}_1$ đồng thời cắt các cạnh $AB$, $AD$ lần lượt tại $B_1$, $D_1$ $(B_1\ne A$, $D_1\ne A)$. Tính giá trị lớn nhất của diện tích tam giác $A{B}_1{D}_1$.

Gọi $H$, $K$ lần lượt là giao điểm của đường thẳng $A_{1}I$ với $AC$ và $C{C}^{\prime }$.

Kẻ đường thẳng qua $H$ cắt $AB$, $AD$ lần lượt tại $B_1$, $D_1$.

Gọi $T=B_1{D}_1\cap CD$.

Ta có $\frac{C^{\prime }K}{A{A}_1}=\frac{C^{\prime }I}{AI}=5\Rightarrow C^{\prime }C+CK=5A{A}_1$

$\Rightarrow CK=3A{A}_1\Rightarrow CH=3AH\Rightarrow CT=3A{B}_1$. [Hình cần kiểm tra lại: p9_f1] (0,25 điểm)

Đặt $\frac{A{B}_1}{AB}=x$ $(0<x\le 1)$. Khi đó: $\frac{D{D}_1}{A{D}_1}=\frac{DT}{A{B}_1}=\frac{CT-CD}{A{B}_1}=3-\frac{AB}{A{B}_1}$

$=3-\frac{1}{x}=\frac{3x-1}{x}\Rightarrow \frac{A{D}_1}{AD}=\frac{x}{4x-1}$. (0,25 điểm)

Ta có: $\frac{S_{\Delta A{B}_1{D}_1}}{S_{\Delta ABD}}=\frac{A{B}_1}{AB}\cdot \frac{A{D}_1}{AD}=\frac{x^2}{4x-1}\Rightarrow S_{\Delta A{B}_1{D}_1}=\frac{3\sqrt{3}{x}^2}{4x-1}$. (0,25 điểm)

Điều kiện $0<\frac{x}{4x-1}\le 1\Rightarrow x\ge \frac{1}{3}\Rightarrow \frac{1}{3}\le x\le 1$. (0,25 điểm)

$\Rightarrow S_{\Delta A{B}_1{D}_1}-\sqrt{3}=\sqrt{3}\cdot \frac{3x^2-4x+1}{4x-1}=\frac{\sqrt{3}(x-1)(3x-1)}{4x-1}\le 0\Rightarrow S_{\Delta A{B}_1{D}_1}\le \sqrt{3}$. (0,25 điểm)

Dấu đẳng thức xảy ra khi $x=1$ hoặc $x=\frac{1}{3}$.

Vậy giá trị lớn nhất của diện tích tam giác $A{B}_1{D}_1$ bằng $\sqrt{3}$. (0,25 điểm)