Cho một bảng ô vuông $3\times 3$. Người ta chọn ngẫu nhiên 9 số nguyên dương phân biệt từ tập hợp $A=\{n\in {\mathbb{N}}^{\ast }\mid n\le 30\}$ và điền ngẫu nhiên vào 9 ô của bảng. Tính xác suất để bảng nhận được thỏa mãn đồng thời các điều kiện sau:

1) Tích các số ở mỗi hàng và mỗi cột đều bằng 120.

2) Tồn tại số nguyên dương $q$ sao cho các số ở cột 1 là $(a;b;c)$, các số ở cột 2 là $(d;e;f)$, các số ở cột 3 là $(k;m;n)$ thỏa mãn $a^2+bc=d^2+ef=k^2-mn=q^2$.

Ta có $n(\Omega )=A_{30}^9$. (0,25 điểm)

Gọi $A$ là biến cố cần tính xác suất. Tính $n(A)$:

Vì các số điền vào 9 ô là ước của 120 nên các số phải lấy từ tập $\{1;2;3;4;5;6;8;10;12;15;20;24;30\}$.

Theo giả thiết ta có: $$\{\begin{array}{ll}{a}^2+bc=d^2+ef=k^2-mn=q^2& (1)\\ abc=def=kmn=adk=bem=cfn=120& (2)\end{array}$$

Từ (1) và (2) ta có $a^2+\frac{120}{a}=d^2+\frac{120}{d}\Rightarrow a^2-d^2=\frac{120(a-d)}{ad}\Rightarrow (a+d)ad=120$ (3) (do $a\ne d$). (0,25 điểm)

TH1. Xét $a<d$ thì $120>2a^3\Rightarrow a<4$.

Nếu $a=1$ thì $(1+d)d=120$ không có $d$ thỏa mãn.

Nếu $a=2$ thì $(2+d)d=60$ không có $d$ thỏa mãn.

Nếu $a=3$ thì $(3+d)d=40\Rightarrow d=5$, $k=\frac{120}{ad}=8$, $mn=\frac{120}{k}=15=1.15$.

Xét $m=1$, $n=15\Rightarrow cf=8=2.4\Rightarrow \{\begin{array}{l}c=2,f=4\Rightarrow b=20,e=6\\ c=4,f=2\Rightarrow b=10,e=12\end{array}$

Xét $m=15$, $n=1\Rightarrow be=8=2.4\Rightarrow \{\begin{array}{l}b=2,e=4\Rightarrow c=20,f=6\\ b=4,e=2\Rightarrow c=10,f=12\end{array}$

Như vậy trong trường hợp 1 có 4 bảng thỏa mãn. (0,5 điểm)

TH2. Xét $a>d$ thì ta chỉ cần đổi cột thứ nhất và cột thứ hai (tính từ trái sang phải) của bốn bảng trong trường hợp 1, ta sẽ có thêm 4 bảng nữa.

Vậy $n(A)=8$. (0,25 điểm)

Xác suất cần tìm $p(A)=\frac{n(A)}{n(\Omega )}=\frac{8}{A_{30}^9}$. (0,25 điểm)

Lưu ý: Nếu thí sinh giải đúng theo cách khác vẫn cho điểm tối đa.